壓電換能器利用壓電材料的逆壓電效應來產生機械振動，廣泛應用于執行器[[1], [2], [3], [4], [5], [6]、機器人[[7], [8], [9], [10], [11]、超聲加工[[12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19]以及壓電泵[[20], [21], [22], [23], [24], [25]。根據壓電材料與基底材料的復合形式，壓電換能器可分為粘結型[[26], [27], [28], [29]和三明治型[[31], [32], [33], [34], [35]壓電換能器。與粘結型壓電換能器不同，三明治型壓電換能器工作在壓電材料的d33振動模式下，具有更高的機電轉換效率。
三明治型壓電換能器的兩種常見振動模式是縱向振動和彎曲振動。工作在縱向振動模式下的三明治型壓電換能器被稱為朗之萬換能器[[36], [37], [38], [39]。通常，其共振頻率隨長度的增加而降低。在振動方向方面，彎曲振動狀態下的三明治型壓電換能器是對朗之萬換能器的補充，其振動特性由截面尺寸和長度決定[[40], [41], [42], [43], [44]。與朗之萬換能器相比，彎曲振動狀態下的三明治型壓電換能器更容易實現小型化和低頻設計[45, 46。
創建預測模型對于壓電換能器的設計和優化至關重要[[47], [48], [49], [50], [51], [52]。基于有限元方法（FEM）的仿真軟件在振動利用或控制領域非常流行，因為它具有用戶友好的界面、直觀的可視化功能和強大的求解能力[[53], [54], [55], [56]。李等人利用COMSOL進行了耦合聲電分析，設計了一種水下超聲鉆頭[57。朱等人通過迭代調整幾何尺寸，在模態計算中完成了3自由度的超聲工具[58。杜等人利用基于FEM的軟件展示了超聲輔助精密加工中常用的壓電換能器振動模式[59。然而，FEM中的網格劃分會影響數據存儲效率和計算處理速度。三明治型壓電換能器配備了薄而眾多的電極，這些電極上的網格需要加密，因為只有精細的網格才能準確捕捉關鍵物理場細節并避免仿真結果的數值失真。然而，必要的加密會導致整體網格規模顯著增加，這對數據存儲和快速計算帶來了挑戰。此外，基于FEM的軟件是一個封閉的計算程序，缺乏透明度。
與FEM相比，傳遞矩陣方法（TMM）具有物理概念清晰、計算效率高且無需推導整個系統動態方程等優點
[[60], [61], [62], [63], [64], [65], [66], [67], [68], [69]。三明治型壓電換能器主要由壓電單元組（PUG）和基底組成。傳統的TMM在模擬彎曲振動PUG時遇到以下困難：
- (1)
每個彎曲振動壓電陶瓷板（PZT）由兩個極性相反的區域組成，這兩個區域之間有極化隔離層。這種極化隔離層具有介電特性，但沒有壓電特性[[70], [71], [72], [73]，這會影響彎曲振動PZT的振動激勵，尤其是在小型器件上。不幸的是，現有的TMM模型無法考慮極化隔離的影響
- (2)
PUG中放置了多個電極。例如，張等人開發的三明治型壓電換能器包含大約20個電極
- (3)
在我們之前的工作中，提出了兩種粘結型壓電層壓梁之間的機電傳遞條件
- (4)
然而，這一結果不能直接代表三明治型PUG中的兩種情況的機電傳遞條件：1）PZT-電極-PZT和2）壓電單元（PU）-電極-PU。三種元素之間的傳遞條件需要進一步研究。缺乏機電傳遞條件不僅使得總阻抗的計算變得困難，還會導致壓電換能器建模中的矩陣尺寸過大。
本文的主要動機是提出一種適用于彎曲振動狀態下三明治型PUG的通用建模方法。本文的新貢獻包括：（1）建立了考慮極化隔離的介電和非極化特性的彎曲振動PZT的傳遞矩陣模型。（2）基于結構連續性和電氣并聯連接，建立了三明治型PUG中兩種情況的機電傳遞條件。（3）定義了一種三元組合運算，推導出了PUG的彎曲振動傳遞方程。（4）所提出的模型表明，彎曲振動PZT中的極化隔離現象加劇了振動激勵。
本文的其余部分安排如下：第2節建立了三明治型PUG的彎曲振動傳遞方程。第3節使用壓電換能器作為驗證案例，并建立了其傳遞矩陣模型。第4節提供了詳細的仿真和實驗驗證結果。第5節得出了結論。
