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        線性隱式保結(jié)構(gòu)格式求解薛定諤-亥姆霍茲方程的無條件收斂性分析
中文標(biāo)題
        
		
        
		
        《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Unconditionally convergence of a linearly implicit and structure-preserving scheme for the Schr?dinger-Helmholtz equation
        
        
        
            
            【字體：
            大 
            中 
            小 
            】
            
            時(shí)間：2026年02月23日
            來源：Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 3.8
        
        
        
        
        
        
        	
        
            	
        編輯推薦：
        
                
        
                　　本文針對(duì)高維薛定諤-亥姆霍茲（Schr?dinger-Helmholtz, SH）方程，提出了一種基于修正蛙跳格式的線性隱式有限元方法。該方案在時(shí)間上避免了迭代計(jì)算，并證明了格式能夠無條件地保持離散質(zhì)量與能量守恒。文章進(jìn)一步克服了高維空間的證明難點(diǎn)，利用Sobolev嵌入和逆不等式，首次嚴(yán)格論證了該方法在二維和三維情形下均能獲得最優(yōu)L2誤差估計(jì)，且無需時(shí)間步長(zhǎng)限制，在計(jì)算效率與理論完備性上取得了顯著進(jìn)展。
                
        
				
        
					
        
				
        
            
        
            
			
        
        
        
        
        　　
        研究亮點(diǎn)與主要結(jié)果
        

        數(shù)值格式與主要結(jié)果
        

        本節(jié)介紹了一種用于求解薛定諤-亥姆霍茲方程的線性隱式、保質(zhì)量和能量守恒的數(shù)值格式及其主要成果。
        

        主要結(jié)論的證明
        

        我們引入一些知識(shí)以供后續(xù)分析使用。
        

        數(shù)值實(shí)驗(yàn)
        

        本節(jié)將通過幾個(gè)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證我們的理論結(jié)果。所有計(jì)算均通過軟件FreeFem++完成。
        

        例1
        

        考慮如下的二維薛定諤-亥姆霍茲方程：
        

        i ut+ Δu ? φu = g1(x, t),
        

        φ ? Δφ = |u|2+ g2(x, t),
        

        在Ω = [0, 1]2區(qū)域內(nèi)，初始條件為u(x, 0) = u0(x)，邊界條件為在?Ω上u = φ = 0。其中，函數(shù)g1(x, t)和g2(x, t)由以下精確解確定：
        

        u = e(i+1)t(1?x) sin(πx) (1?y) sin(πy),
        

        φ = t x2sin(πx) y2(1?y).
        

        為確認(rèn)...
        

        結(jié)論
        

        本文證明了一種求解高維薛定諤-亥姆霍茲方程的蛙跳有限元方法具有無條件最優(yōu)誤差估計(jì)。與通過引入時(shí)間離散系統(tǒng)來證明誤差估計(jì)的方法不同，我們證明的關(guān)鍵在于利用了不同時(shí)間層次上特定范數(shù)的誤差估計(jì)、Sobolev嵌入定理和逆不等式。此外，所提出的格式能夠無條件地保持質(zhì)量和能量守恒，我們對(duì)此給出了嚴(yán)格的證明。
        
        
        
		
        
        
        	
          
        		
        	
        
        
        

		
        
		
        

        
        
        	
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