[摘要翻譯]

圖G的一個完美匹配是指一個匹配，使得圖G的每個頂點都恰好與該匹配中的一條邊相關聯。圖G的一個分數完美匹配是一個函數h，賦予每條邊一個在[0, 1]之間的數，使得對于每個頂點 v ∈ V(G)，都有 ∑_{e ∈ E_G(v)} h(e) = 1，其中 E_G(v) 是與頂點 v 相關聯的邊集。顯然，一個圖中分數完美匹配的存在性是它包含完美匹配的必要條件。在本文中，我們提出了一個緊的譜半徑條件，該條件保證了一個擁有分數完美匹配的圖包含一個完美匹配。

一個圖G被稱為k-因子臨界的，如果刪除任意k個頂點后，剩余子圖仍然擁有一個完美匹配。一個圖G被稱為分數k-因子臨界的，如果刪除任意k個頂點后，剩余子圖仍然擁有一個分數完美匹配。顯然，一個圖的分數k-因子臨界性是它是k-因子臨界圖的必要條件。在本文中，我們提出了一個基于譜半徑的緊的充分條件，該條件保證了一個具有分數k-因子臨界性的圖是k-因子臨界的。

讓G是一個無向、簡單且連通的圖，頂點集為V(G)，邊集為E(G)。G的階和大小分別用|V(G)| = n和|E(G)| = e(G)表示。我們用c(G)和o(G)分別表示G的連通分支數和奇數分支數。對于一個頂點子集 S ? V(G)，用G[S]表示由S誘導的子圖，|S|表示S的大小。令G₁和G₂是兩個不相交的圖。我們用G₁∪ G₂表示G₁和G₂的不交并。連接G₁∨ G₂是通過在G₁∪ G₂的基礎上，添加V(G₁)和V(G₂)之間所有可能的邊而得到的圖。圖G的韌性定義為 τ(G) = min{ |S| / c(G-S) : S是G中的一個頂點割集}，其中 G ≠ K_n。

給定一個n階圖G，其鄰接矩陣A(G) = (a_ij)_{n×n}是一個0-1矩陣，其中如果頂點 v_i～ v_j，則 a_ij=1，否則為0。注意A(G)是一個實非負對稱矩陣，因此其特征值是實數，可以按非遞增順序排列為 λ₁(G) ≥ λ₂(G) ≥ … ≥ λ_n(G)。A(G)的最大特征值，記作 ρ(G)，被稱為圖G的譜半徑。

如果性質A蘊含性質B，那么性質B是性質A的一個必要條件。這引出了一個有趣的問題。

對于一個具有性質B的圖，保證其具有性質A的充分條件是什么？

許多研究者對問題1.1給予了大量關注。注意，2-連通性是一個圖包含哈密頓環的必要條件。對應于問題1.1，一個自然而有趣的問題出現了：保證一個2-連通圖包含哈密頓環的充分條件是什么？1974年，Goodman和Hedetniemi [8] 提出了一個基于禁止子圖的充分條件，確保一個2-連通圖包含哈密頓環。

定理 1.1 Goodman和Hedetniemi [8]

每個2-連通的 {K_1,3, K_1,3+e} - 自由圖包含一個哈密頓環。

Matthews和Sumner [11] 證明了每個2-連通的n階無爪圖，如果最小度 δ(G) ≥ (n-2)/3，則包含一個哈密頓環。Fan [2] 證明了如果對每一對距離為2的頂點 u, v，都有 max{d_G(u), d_G(v)} ≥ n/2，那么該2-連通圖就有一個哈密頓環。Faudree和Gould [5] 證明了對于n≥10，一個2-連通的H-自由圖包含哈密頓環當且僅當H是以下圖族之一：{K_1,3, P₄}, {K_1,3, P₅}, {K_1,3, P₆}, {K_1,3, C₃}, {K_1,3, Z₁}, {K_1,3, Z₂}, {K_1,3, Z₃}, {K_1,3, B}, {K_1,3, W}, {K_1,3, N}（見圖1），其中Z_i是將一個C₃的一個頂點與一個P_i+1的一個端點重合而形成的圖，其中 i ∈ {1, 2, 3}。

注意，1-韌性是一個圖包含哈密頓環的必要條件。對應于問題1.1，一個自然而有趣的問題出現了：保證一個1-韌圖包含哈密頓環的譜充分條件是什么？令 K_n-4⁺³表示在 3K₁∪ K_n-4的基礎上，添加3條K_n-4和3K₁之間獨立邊而得到的圖。最近，Fan、Lin和Lu [4] 提出了一個緊的譜充分條件，保證了一個連通的1-韌圖包含哈密頓環。

定理 1.2 Fan, Lin和Lu [4]

假設G是一個連通的1-韌圖，階數 n ≥ 18，且最小度 δ ≥ 2。如果 ρ(G) ≥ ρ(K₁∨ K_n-4⁺³)，那么G包含一個哈密頓環，除非 G ? K₁∨ K_n-4⁺³。

圖G的一個完美匹配是一個匹配，使得圖G的每個頂點都恰好與該匹配中的一條邊相關聯。圖G的一個分數完美匹配是一個函數h，賦予每條邊一個在[0, 1]之間的數，使得對于每個頂點 v ∈ V(G)，都有 ∑_{e ∈ E_G(v)} h(e) = 1，其中 E_G(v) 是與頂點 v 相關聯的邊集。顯然，一個圖中分數完美匹配的存在性是它包含完美匹配的必要條件。對應于問題1.1，我們提出了以下問題。

保證一個擁有分數完美匹配的圖包含完美匹配的緊的譜半徑條件是什么？

針對問題1.2，我們建立了以下結果。

令G是一個擁有分數完美匹配的連通圖，偶數階 n ≥ 12。如果 ρ(G) ≥ ρ(K₁∨ (K_n-5∪ K₃∪ K₁))，那么G包含一個完美匹配，除非 G ? K₁∨ (K_n-5∪ K₃∪ K₁)。

事實上，O [13] 提出了一個基于譜半徑的充分條件，保證一個連通圖包含一個完美匹配。

定理 1.4 O [13]

令 n ≥ 8 是一個偶數或 n=4。如果G是一個n頂點圖，且 ρ(G) > θ(n)，其中θ(n)是方程 x3 - (n-4)x2 - (n-1)x + 2(n-4) = 0 的最大根，那么G有一個完美匹配。對于 n=6，如果 ρ(G) > (1+√33)/2，那么G有一個完美匹配。

可以驗證 ρ(K₁∨ (K_n-3∪ 2K₁)) = θ(n)。根據引理2.1，我們可以證明對于 n ≥ 12，有 ρ(K₁∨ (K_n-5∪ K₃∪ K₁)) < ρ(K₁∨ (K_n-3∪ 2K₁))。

一個圖G被稱為k-因子臨界的，如果刪除任意k個頂點后，剩余子圖仍然擁有一個完美匹配。一個圖G被稱為分數k-因子臨界的，如果刪除任意k個頂點后，剩余子圖仍然擁有一個分數完美匹配。顯然，如果G是k-因子臨界的，那么它必然是分數k-因子臨界的，然而反之不一定普遍成立。對應于問題1.1，我們提出了以下問題。

保證一個具有分數k-因子臨界性的圖是k-因子臨界的緊的譜半徑條件是什么？

關于問題1.3，我們證明了以下結果。

令G是一個具有分數k-因子臨界性的連通圖，階數 n ≥ max{k+56, 23k+20}，其中 n ≡ k (mod 2) 且 k ≥ 1 是一個整數。如果 ρ(G) ≥ ρ(K_k∨ (K_n-k-3∪ K₃))，那么G是k-因子臨界的，除非 G ? K_k∨ (K_n-k-3∪ K₃)。

事實上，Zhang和Fan [16] 提出了一個基于譜半徑的充分條件，保證一個連通圖是k-因子臨界的。

定理 1.6 Zhang和Fan [16]

令k和n是兩個正整數，滿足 n ≡ k (mod 2)，且令G是一個n階連通圖。如果 ρ(G) ≥ ρ(K_k∨ (K_n-k-1∪ K₁))，那么G是k-因子臨界的，除非 G ? K_k∨ (K_n-k-1∪ K₁)。

可以驗證對于 n ≥ k+5，有 ρ(K_k∨ (K_n-k-3∪ K₃)) < ρ(K_k∨ (K_n-k-1∪ K₁))。

一個圖G被稱為k-可擴張的，如果它有一個k-匹配，并且G的每一個k-匹配M都包含在G的一個完美匹配中。一個圖G被稱為分數k-可擴張的，如果對于任何k-匹配M，都存在一個包含M的分數完美匹配。顯然，如果G是k-可擴張的，那么它必然是分數k-可擴張的，然而反之不一定成立。我們提出了以下問題。

保證一個具有分數k-可擴張性的圖是k-可擴張的緊的譜半徑條件是什么？

顯然，一個2k-因子臨界圖必須是k-可擴張的。根據定理1.5，我們可以很容易推導出以下結果。

令G是一個具有分數k-可擴張性的連通圖，階數 n ≥ 46k+20，其中n是偶數且 k ≥ 1 是一個整數。如果 ρ(G) ≥ ρ(K_2k∨ (K_n-2k-3∪ K₃))，那么G是k-可擴張的，除非 G ? K_2k∨ (K_n-2k-3∪ K₃)。

Miao, Li和Wei [12] 提出了一個基于譜半徑的充分條件，保證一個連通圖是k-可擴張的。

定理 1.7 Miao, Li和Wei [12]

令k是一個正整數，n是一個偶正整數。如果G是一個n頂點的連通圖，且 ρ(G) ≥ ρ(K_2k∨ (K_n-2k-1∪ K₁))，那么G是k-可擴張的，除非 G ? K_2k∨ (K_n-2k-1∪ K₁)。