我們部分解決了一個(gè)問題，并證偽了由 Gross、Mansour 和 Tucker 最初提出的一個(gè)猜想。我們首先刻畫了五類平面帶圖（ribbon graphs）的花束受限部分對(duì)偶多項(xiàng)式（bouquet-restricted partial-twuality polynomials）的插值（interpolating）或?qū)��?shù)凹（log-concave）行為。隨后，我們引入了一個(gè)無限族的不可定向帶圖（non-orientable ribbon graphs）作為反例，其部分對(duì)偶多項(xiàng)式（partial-dual polynomials）表現(xiàn)出插值性，但對(duì)應(yīng)的偶次度或奇次度序列卻不符合對(duì)數(shù)凹性。

在[18]中，Wilson 證明了兩個(gè)著名的對(duì)偶算子 （幾何對(duì)偶）和 ×（佩特里對(duì)偶）生成了一組六個(gè)帶圖算子。具體而言，和 × 的任何組合都等價(jià)于五個(gè)算子之一 、×、×、×、×* 或恒等算子。Abrams 和 Ellis-Monaghan [1] 隨后引入術(shù)語(yǔ)“對(duì)偶性”（twualities）來指代這五個(gè)算子。Chmutov [4] 引入了關(guān)于帶圖 G 的邊子集 A 的部分對(duì)偶（partial duality）概念，旨在統(tǒng)一瓊斯-考夫曼（Jones-Kauffman）和博洛巴斯-里奧丹（Bollobás-Riordan）多項(xiàng)式之間的各種聯(lián)系。給定一個(gè)帶圖 G 及其邊帶子集 A ? E(G)，關(guān)于 A 的部分對(duì)偶 G^＊|A是通過沿生成帶子圖 (V(G), A) 的每個(gè)邊界分量將一張圓盤粘貼到 G 上（這些圓盤將成為 G^＊|A的頂點(diǎn)圓盤），移除 G 所有頂點(diǎn)圓盤的內(nèi)部，并保持邊帶子不變而得到的帶圖。

Ellis-Monaghan 和 Moffatt [7] 后來將這種部分對(duì)偶構(gòu)造推廣到其余四個(gè)算子，稱它們?yōu)椴糠謱?duì)偶性（partial-twualities）。設(shè) G 為一個(gè)帶圖且 A ? E(G)。那么 G 關(guān)于 A 的部分佩特里對(duì)偶（partial Petrial） G^×|A[7] 是通過對(duì) A 中的每條邊添加半扭轉(zhuǎn)（adding a half-twist）而得到的帶圖。由此可知，部分佩特里對(duì)偶（partial Petrie duality）保留了底圖（underlying graph）。

圖1顯示了 * 和 × 在一條邊 e 上的作用。在圖1（a）中，如果 e 的兩端關(guān)聯(lián)于同一頂點(diǎn)（兩種不同的識(shí)別方法分別對(duì)應(yīng)可定向和不可定向的環(huán)），則 e 是一個(gè)環(huán)；如果其兩端關(guān)聯(lián)于兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，則 e 是一個(gè)非環(huán)。如圖所示，盡管面或頂點(diǎn)的數(shù)量可能改變，邊的數(shù)量在部分對(duì)偶下是不變的。我們約定 G^*×|A= (G^＊|A)^×|A，類似地定義 ×* 和 ×。我們假定讀者對(duì)圖論和拓?fù)鋱D論有基本理解，關(guān)于未定義的術(shù)語(yǔ)，請(qǐng)參閱 [2]、[8]、[12]、[17]。

我們用 v(G), e(G), f(G) 和 c(G) 分別表示帶圖 G 的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、邊界分量數(shù)和連通分量數(shù)。符號(hào) ε(G) 表示 G 的歐拉虧格（Euler genus），定義為 ε(G) = 2c(G) ? v(G) + e(G) ? f(G)。虧格是嵌入圖（embedded graphs）的一個(gè)拓?fù)洳蛔兞浚�是一個(gè)廣泛的主題，起著至關(guān)重要的結(jié)構(gòu)作用。如果 G 不可定向，則其歐拉虧格等于其虧格；如果 G 可定向，則等于其虧格的兩倍。歐拉虧格為0的帶圖稱為平面帶圖。類似于枚舉圖按虧格所有嵌入的虧格多項(xiàng)式（genus polynomial），Gross、Mansour 和 Tucker [10] 為帶圖 G 引入了部分多項(xiàng)式（partial-polynomial），定義為 E_G^*(z) = Σ_A?E(G)z^ε(G*|A)，其中 * ∈ {*, ×, ×, ×, ×}。

一個(gè)花束（bouquet）被定義為一個(gè)只有一個(gè)頂點(diǎn)的帶圖。設(shè) A 是一個(gè)帶圖 G 的某個(gè)生成樹（spanning tree）的邊集。那么對(duì)于 * ∈ {, ×, ×, ×}，G^•|A是一個(gè)花束 [10]。隨后，Gross、Mansour 和 Tucker [10] 引入了花束受限部分多項(xiàng)式（bouquet-restricted partial-• polynomial），其定義是將求和限制在那些使得 G^•|A成為花束的子集 A ? E(G) 上。該多項(xiàng)式記為 B_G^•(z)。

如果一個(gè)多項(xiàng)式中介于其最高和最低次項(xiàng)之間的所有項(xiàng)的系數(shù)都是非零的，則稱該多項(xiàng)式是插值的（interpolating）。如果多項(xiàng)式 Σa_izⁱ滿足不等式 a_i-1a_i+1≤ a_i²（其中 i>0），則稱其為對(duì)數(shù)凹（log-concave）的。偶次（奇次）插值與偶次（奇次）對(duì)數(shù)凹的定義類似。若多項(xiàng)式所有非零系數(shù)均對(duì)應(yīng)于偶次（奇次）項(xiàng)，則稱其為偶（奇）多項(xiàng)式。一個(gè)生成樹 T 的補(bǔ) G-E(T) 稱為余樹（cotree），記為 T^c。G 的零度（nullity），記作 μ(G)，定義為 μ(G) = e(G) ? v(G) + c(G)。

1989年，Gross、Robbins 和 Tucker [11] 證明了圓花束的虧格多項(xiàng)式的對(duì)數(shù)凹性，并猜想該性質(zhì)對(duì)所有圖都成立。Mohar [16] 在2026年構(gòu)造了多個(gè)反例族，從而證偽了這一一般性猜想。受其早期工作中觀察到的花束與對(duì)數(shù)凹性之間特定聯(lián)系的啟發(fā)，Gross、Mansour 和 Tucker 開始研究花束受限部分*多項(xiàng)式。

Chmutov [4] 指出部分對(duì)偶保持可定向性。對(duì)于一個(gè)可定向帶圖 G，其歐拉虧格是虧格的兩倍，這迫使部分對(duì)偶多項(xiàng)式 E_G^*(z) 為偶多項(xiàng)式，因而不是插值的。這與部分×多項(xiàng)式形成了對(duì)比：Gross 等人 [10] 證明了 E_G^×(z) 是插值的但不是對(duì)數(shù)凹的。現(xiàn)在考慮花束受限多項(xiàng)式 B_G^×(z)。由于部分佩特里對(duì)偶（partial Petrial）保留了底圖，G^×|A是花束當(dāng)且僅當(dāng) G 本身是花束。因此，如果 G 不是花束，則 B_G^×(z) = 0。反之，如果 G 是花束，則 B_G^×(z) 與部分×多項(xiàng)式 E_G^×(z) 相同，因此是插值的。總之，B_G^×(z) 要么是插值的，要么為零。

本文重點(diǎn)討論 Gross、Mansour 和 Tucker 提出的兩個(gè)問題：一個(gè)關(guān)于花束受限部分多項(xiàng)式 B_G^•(z)，見第2節(jié)；另一個(gè)是關(guān)于部分多項(xiàng)式 E_G^*(z) 的猜想，見第3節(jié)，陳述如下。

問題 1.1 [10]

確定使得多項(xiàng)式 B_G^•(z) 是插值或?qū)��?shù)凹的帶圖 G 的類別。理想情況下，將花束受限多項(xiàng)式的行為與完全多項(xiàng)式聯(lián)系起來。

我們討論關(guān)于平面帶圖的問題 1.1，如定理 1.2 所述。

定理 1.2 的證明將在第2節(jié)中按其陳述順序給出。我們注意到，定理 1.2 (4) 實(shí)際上適用于所有帶圖，而不僅僅是平面帶圖。

猜想 1.3 [9]

對(duì)于任何不可定向帶圖的部分多項(xiàng)式 E_G^*(z)，其偶次度序列 {a_i/2} 和奇次度序列 {a_(i+1)/2} 都是對(duì)數(shù)凹的。*

Gross 等人 [10] 給出了一個(gè)可定向帶圖，其多項(xiàng)式 E_G^*(z) 不是偶次對(duì)數(shù)凹的。在第3節(jié)中，我們提供了一個(gè)無限族的不可定向帶圖作為猜想 1.3 的反例。這些帶圖的多項(xiàng)式 E_G^*(z) 是插值的，但它們的偶次度或奇次度序列不是對(duì)數(shù)凹的。

如果一個(gè)帶圖 G 是不連通的，則 B_G^•(z) 等于 0。因此，除非特別說明，本文討論的所有帶圖都假定是連通的。我們用 G[A] 表示由邊集 A 誘導(dǎo)的 G 的生成子圖（spanning subgraph）。由于頻繁使用，在不會(huì)引起歧義的情況下，我們將簡(jiǎn)單地用 A 來表示 G[A]。為了方便起見，在單元素集的情況下，我們省略集合的括號(hào)。

帶圖 G 的一個(gè)生成子圖如果恰好包含一個(gè)...

本節(jié)研究關(guān)于部分多項(xiàng)式 E_G^*(z) 的猜想 1.3*。花束的帶符號(hào)輪換（signed rotation）[19] 是關(guān)聯(lián)于該頂點(diǎn)的半邊（half-edges）的一個(gè)循環(huán)序。如果邊是可定向環(huán)，我們?yōu)槠鋬蓚�(gè)半邊分配相同的符號(hào)（+ 或 ?）。否則，我們分配不同的符號(hào)（+ 和 ?）。注意，符號(hào) + 是隱含的，在記法中通常被省略。

引理 3.1 [9]

在第3節(jié)中，帶圖 H₁作為 [9] 中猜想 5.3 和 [10] 中猜想 8.1 的一個(gè)反例。設(shè) G 是一個(gè)具有帶符號(hào)輪換 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 5, 8, 3, 7, 10, 4, 9, 2, 6) 的花束。通過計(jì)算，我們得到 E_G^*(z) = 96z¹⁰+ 588z⁸+ 314z⁶+ 24z⁴+ 2z²。這個(gè)多項(xiàng)式是 [9] 中猜想 5.1 的一個(gè)反例，由不等式 314·2 > 24²可證。值得注意的是，上述三個(gè)猜想已被所呈現(xiàn)的不同例子證偽。