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        Halin圖獨(dú)立集計(jì)數(shù)極值問題：從一般結(jié)構(gòu)到三次正則圖的理論與邊界分析
        
		
        
		
        《Discrete Optimization》：On the number of independent sets in Halin graphs
        
        
        
            
            【字體：
            大 
            中 
            小 
            】
            
            時(shí)間：2026年02月23日
            來源：Discrete Optimization 1.6
        
        
        
        
        
        
        	
        
            	
        編輯推薦：
        
                
        
                　　本綜述聚焦于平面圖論中Halin圖的獨(dú)立集計(jì)數(shù)問題，系統(tǒng)探討了在頂點(diǎn)數(shù)n固定的前提下，如何刻畫使獨(dú)立集總數(shù)σ(G)達(dá)到極值的最大一般Halin圖和最大三次Halin圖，并提供了相關(guān)圖類獨(dú)立集數(shù)量的漸近下界。研究結(jié)合了圖的變換技巧與極值圖論方法，深化了對特定圖類組合結(jié)構(gòu)（如特征樹T、伴隨圈C）與獨(dú)立集分布關(guān)系的理解，并為化學(xué)圖論中的Merrifield–Simmons指數(shù)等研究提供了理論參考。
                
        
				
        
					
        
				
        
            
        
            
			
        
        
        
        
        　　
        亮點(diǎn)
        

        從Halin圖的結(jié)構(gòu)來看，基于其特征樹T，頂點(diǎn)集V(T)可以被劃分為V(T)=V0∪ V1∪ V2，其中V0表示T的葉子集，也就是Halin圖伴隨圈上的頂點(diǎn)；V1是T的支撐頂點(diǎn)集；V2是T中剩余的頂點(diǎn)集（V2可能為空）。任何在V(T) \ V0中的頂點(diǎn)都是Halin圖H的內(nèi)部頂點(diǎn)。如果特征樹T中的一個(gè)支撐頂點(diǎn)在H中僅與一個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)相鄰，則稱其為“友好”支撐頂點(diǎn)；否則，若它與至少兩個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)相鄰，則稱其為“不良”支撐頂點(diǎn)。
        

        最大三次Halin圖
        

        令CHn表示頂點(diǎn)數(shù)為n的三次Halin圖集合。顯然，在CHn中，n ≥ 4且為偶數(shù)。對于偶數(shù)n ≥ 6，我們記Cmn為一種樹，它通過給路徑P(n+2)/2的每個(gè)非葉子頂點(diǎn)連接一個(gè)懸掛頂點(diǎn)而得到。令A(yù)n為頂點(diǎn)數(shù)為n、特征樹為Cmn的三次Halin圖集合。一個(gè)梯子L2k（k ≥ 1）就是笛卡爾積Pk□ P2。假設(shè)CLn∈ An是一個(gè)Halin圖，它由Ln-2通過添加兩個(gè)頂點(diǎn)u和v得到，u和v分別是……
        

        漸近下界
        

        在本節(jié)中，我們轉(zhuǎn)而確定一般Halin圖和三次Halin圖的獨(dú)立集數(shù)量的漸近下界的存在性。在展示主要結(jié)果之前，我們首先引入著名的Fekete引理，作為后續(xù)證明中的一個(gè)有用工具。一個(gè)（正）序列(ui)i=1∞是次可加的（相應(yīng)地，次可乘的），如果對于任意自然數(shù)m和n，有um+n≤ um+ un（相應(yīng)地，um+n≤ umun）。
        

        引理 4.1 [28]
        

        如果(ui)i=1∞是一個(gè)次可加序列，那么limn→∞un/n = infn∈Nun/n。
        

        取v*……
        

        結(jié)論
        

        在本文的第2節(jié)（最大一般Halin圖）和第3節(jié)（最大三次Halin圖）中，基于Halin圖的結(jié)構(gòu)，我們引入了若干圖變換，包括FV變換、α-變換和β-變換，所有這些變換都增加了Halin圖的獨(dú)立集數(shù)量。通過使用這些圖變換，我們確定了在所有頂點(diǎn)數(shù)為n的一般Halin圖以及所有三次Halin圖中，關(guān)于獨(dú)立集數(shù)量達(dá)到最大的圖。
        
        
        
		
        
        
        	
          
        		
        	
        
        
        

		
        
		
        

        
        
        	
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