近日，北京大學物理學院量子材料科學中心陳昱安課題組與普林斯頓高等研究院小林良平、倫敦國王學院辛柏伸合作，在晶格上的廣義統(tǒng)計微觀定義方面取得重要進展。研究團隊首次提出了一套適用于任意空間維度與任意激發(fā)維數(shù)的方法，系統(tǒng)計算粒子、環(huán)（loop）和膜（membrane）等多種拓撲激發(fā)的統(tǒng)計性質(zhì)，并揭示其與高階對稱性’t Hooft反常及量子多體動力學之間的深刻聯(lián)系。相關(guān)成果以《晶格上的廣義統(tǒng)計》（“Generalized Statistics on Lattices”）為題，發(fā)表在《物理評論X》（Physical Review X）上。

理解準粒子及高維拓撲激發(fā)的統(tǒng)計性質(zhì)，是凝聚態(tài)物理、高能物理與量子信息中的核心問題。在二維體系中，任意子統(tǒng)計奠定了分數(shù)量子霍爾效應(yīng)和拓撲量子計算的理論基礎(chǔ)，圖1展示了兩個任意子的交換統(tǒng)計過程；而在三維及更高維體系中，自然出現(xiàn)的線狀與面狀激發(fā)，其統(tǒng)計行為不僅影響規(guī)范理論中的禁閉機制，也直接決定高維拓撲量子碼的邏輯算符結(jié)構(gòu)。然而，與二維任意子相比，如何在晶格模型中定義這些高維激發(fā)普適、可計算的統(tǒng)計量，長期以來缺乏統(tǒng)一框架。

圖1 粒子激發(fā)在2+1維時空的統(tǒng)計過程。U_ij表示將粒子從位置i移到位置j的算符

針對這一關(guān)鍵問題，研究團隊從微觀晶格算符與局域幺正演化出發(fā)，發(fā)展了一種全新的理論方案。該方法將統(tǒng)計過程理解為一系列精心構(gòu)造的局域幺正算符序列，其多體貝里相位即對應(yīng)物理上可觀測的統(tǒng)計不變量。通過系統(tǒng)分析局域性所施加的約束條件并借助史密斯標準型（Smith normal form）這一代數(shù)工具，研究團隊實現(xiàn)了統(tǒng)計過程的自動生成，無需額外的物理假設(shè)，從而建立起一個通用于任意維度、任意阿貝爾激發(fā)的晶格層面的統(tǒng)計理論框架。

在這一框架下，傳統(tǒng)粒子交換統(tǒng)計被自然地統(tǒng)一進來，同時還系統(tǒng)揭示了以往難以刻畫的多種新現(xiàn)象，包括環(huán)-環(huán)融合統(tǒng)計、膜-膜融合統(tǒng)計以及不同維度激發(fā)之間的互統(tǒng)計行為。例如圖2展示了環(huán)激發(fā)在三維空間的統(tǒng)計量算符，圖3展示了環(huán)激發(fā)與膜激發(fā)在三維空間的互統(tǒng)計量算符。研究表明，這些廣義統(tǒng)計量均取離散量子化數(shù)值，為復(fù)雜拓撲相的分類提供了可操作工具。

圖2 環(huán)激發(fā)在三維空間的翻轉(zhuǎn)過程。U_0ij和U_0ij^-1表示產(chǎn)生或湮滅<0ij>環(huán)激發(fā)的算符（0點為四面體1234的中心點）

圖3 環(huán)激發(fā)與膜激發(fā)在三維空間的互統(tǒng)計示意圖與廣義統(tǒng)計量算符。U_f表示在綠色面邊緣產(chǎn)生環(huán)激發(fā)的算符，U_t1和U_t2分別表示在藍色和紅色四面體表面產(chǎn)生膜激發(fā)的算符，[A, B]= A^-1B^-1AB為對易子

該工作在概念層面上建立了晶格廣義統(tǒng)計與廣義對稱性’t Hooft反常之間的一一對應(yīng)關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，每一個非平庸的統(tǒng)計不變量都可視為相應(yīng)廣義對稱性的反常指標：一方面，它阻礙了該對稱性的規(guī)范化；另一方面，它嚴格排除了任何保持對稱性的短程糾纏基態(tài)的存在。這一結(jié)果將Lieb–Schultz–Mattis定理的思想推廣至更高形式對稱性與更一般的晶格體系，為理解量子多體系統(tǒng)中反常約束與動力學提供了統(tǒng)一視角。

論文中還通過多個具體模型展示了廣義統(tǒng)計如何在有限晶格上被顯式計算，并與高維群上同調(diào)分類結(jié)果精確吻合。這不僅驗證了理論框架的自洽性，也為今后在拓撲物態(tài)、高維量子碼以及量子模擬中的應(yīng)用奠定了堅實基礎(chǔ)。

在該項研究中，小林良平、北京大學物理學院量子材料科學中心博士生李雨陽、麻省理工學院物理系博士生薛寒玉為共同第一作者，陳昱安與辛柏伸為共同通訊作者。研究工作得到了國家自然科學基金委員會及北京大學的經(jīng)費支持。