隨機微分方程（SDE）涉及不確定的系數和/或隨機強迫項/邊界/初始條件，這導致求解結果的不確定性（Bj?rk等人，2004年；Braumann，2019年；Patil, Babaee，2020年；Patil, Babaee，2023年；Psaros等人，2023年；Wang等人，2024年；Yang等人，2012年）。為了量化SDE中的不確定性，已經開發了多種數值方法。具體來說，蒙特卡洛（MC）方法和廣義多項式混沌（gPC）是現有的數值求解器中最受歡迎的方法之一。正如Zhong和Meidani（2023年）指出的，前者具有魯棒性和直接性，但通常計算成本較高。此外，后者計算效率更高，但受到“維數災難”（CoD）的影響。
最近，深度學習在解決正向和反向偏微分方程（PDE）方面取得了顯著進展（Fu等人，2024年；Raissi等人，2019年；Sirignano和Spiliopoulos，2018年；Yu等人，2018年），特別是對于高維PDE（Guo等人，2022a年；Han等人，2018年；Hu, Shukla, Karniadakis, Kawaguchi，2024a年；Hu, Zhang, Karniadakis, & Kawaguchi；Mao和Meng，2023年；Zang等人，2020年），因為深度神經網絡（DNN）能夠打破“維數災難”。特別是基于物理信息的神經網絡（PINNs）（Mao和Meng，2023年；Raissi等人，2019年；Xiang等人，2025年；Zou等人，2025年）是解決PDE最常用的深度學習方法之一，因為它們既有效又易于實現。具體來說，PINNs使用DNN來近似給定PDE的解，然后利用自動微分將相應的PDE編碼到DNN中。對于確定性PDE，我們可以通過最小化方程殘差的均方誤差（MSE）以及PINN預測與觀測數據之間的不匹配來訓練PINNs。除了確定性PDE之外，還提出了PINNs的變體來解決SDE（Psaros等人，2023年；Zou等人，2024年）。例如，Zhang等人提出將PINNs與任意多項式混沌（NN-aPC）結合起來解決正向和反向SDE問題（Zhang等人，2019年）。盡管有效，但NN-aPC在處理高維問題時仍然具有挑戰性，因為多項式混沌項的數量隨著維數的增加而呈指數級增長（Guo等人，2022b年）。受到深度生成模型處理高維數據能力的啟發，已經開發了許多基于物理信息的深度生成模型（PI-GeMs）來解決高維SDE，例如基于物理信息的生成對抗網絡（PI-GANs）（Yang等人，2020年；Yang和Perdikaris，2019年），基于物理信息的變分自編碼器（PI-VAE）（Shin和Choi，2023年；Zhong和Meidani，2023年）以及基于物理信息的歸一化流（Guo等人，2022b年）等。Yang等人（2020年）報告了在100個隨機維度上的SDE的數值結果，這對傳統數值方法來說是非常具有挑戰性的。
盡管使用PI-GeMs在隨機域中解決高維SDE方面取得了顯著進展，但大多數現有模型在擴展到具有高維物理空間的SDE問題（例如空間或時空空間等）時存在困難。據我們所知，使用深度學習的現有工作中尚未報告超過二維空間維度的SDE問題（Shin和Choi，2023年；Yang等人，2020年；Zhong和Meidani，2023年）。一般來說，深度生成模型旨在根據經驗樣本近似未知分布。為了使用深度生成模型近似隨機過程，常用的方法是用離散點的數量表示目標隨機過程中的每個樣本。然后可以將目標隨機過程視為具有與用于解決每個樣本的點數相同維度的未知分布。在訓練深度生成模型時，我們可以最小化某種能夠衡量生成過程與目標隨機過程之間差異的度量，例如Zhong和Meidani（2023年）中的最大均值差異（MMD），Guo等人（2022b）中的Kullback–Leibler（KL）散度，以及Yang等人（2020年）中的Wasserstein-1距離。此外，該度量是基于生成的樣本和觀測樣本經驗估計的。對于超過二維空間的問題，需要數千個點來準確解決每個樣本，從而導致度量估計的計算成本過高。換句話說，上述模型在處理具有高維空間域的SDE時具有挑戰性。
請注意，在幾個實際應用中自然會出現定義在高維物理空間上的隨機過程或SDE。例如，薛定諤方程的物理維度隨3N變化，其中N表示粒子數，它被廣泛用于模擬有序固體中的粒子動力學。然而，在無序固體中，通常使用包含隨機勢的隨機薛定諤算子來更準確地描述粒子動力學（Anderson等人，1958年；Denisov和Kiselev，2005年；Kirsch，2007年）。這導致了在高維物理域上提出的SDE。最近，人們還對通過解決具有微/納米尺度熱傳導不確定性的逆聲子玻爾茲曼傳輸方程來推斷固體的熱導率感興趣（Li等人，2025年）。這種方法需要為能量密度函數分配一個具有7個物理維度（即1個時間維度和3個空間維度）的隨機過程作為先驗。因此，仍然需要能夠在隨機和物理維度上都可擴展的SDE數值求解器，因為如前所述，現有方法在處理高維空間域的問題時遇到困難。
本工作的主要貢獻如下：（1）我們開發了一種可擴展的基于物理信息的深度生成模型（sPI-GeM），能夠高效解決正向和反向SDE問題，并且能夠處理隨機和空間域中的高維問題。（2）我們對具有高維隨機空間（>50維）和空間空間（20維）的正向/反向SDE問題進行了數值實驗。特別是，據我們所知，目前的研究中尚未報道具有20維空間空間的SDE問題。
本文的其余部分組織如下：第2節中，我們介紹了問題的表述以及用于解決隨機微分方程的可擴展基于物理信息的深度生成模型；第3節展示了數值結果，第4節對這項研究進行了總結。
