亞中尺度過程是海洋動力系統(tǒng)中的關鍵組成部分，其時空尺度為和$O(1–10)天$（Capet等人，2008a；Capet等人，2008b；Klein等人，2009；Klein和Lapeyre，2009；McWilliams，2017；Qiu等人，2014）。這些過程從根本上調(diào)節(jié)著垂直熱輸送、鹽分、動量和營養(yǎng)物質(zhì)的分布，促進了海洋能量的再分配，并塑造了多尺度動力相互作用（Gula等人，2022；Lévy等人，2001；McWilliams，2016；Taylor和Thompson，2023；Zhang等人，2023）。在中低緯度的海洋模型模擬中，具有強垂直速度的亞中尺度過程產(chǎn)生的亞中尺度垂直熱輸送（SVHT）強度可達中尺度過程的五倍（Su等人，2018），導致海表溫度升高多達0.3°C，凸顯了它們在海洋上層熱力學中的關鍵作用。然而，由于SVHT作用于亞網(wǎng)格尺度，大多數(shù)海洋模型無法對其進行解析（Cao等人，2023；Gula等人，2022；Mahadevan和Tandon，2006），因此準確量化SVHT對于闡明其動力作用和氣候響應至關重要。

目前的SVHT參數(shù)化方法包括顯式尺度公式和隱式機器學習（ML）算法（Bolton和Zanna，2019；Fox-Kemper等人，2008；Rasp等人，2018；Zhang等人，2023；Zhu等人，2022）。傳統(tǒng)的SVHT尺度參數(shù)化方法易于實現(xiàn)，但通常針對特定動力機制進行定制，例如混合層不穩(wěn)定性（MLI）、應變誘導的鋒面形成（SIF）、湍流熱風等（Boccaletti等人，2007；Callies等人，2016；Fox-Kemper和Ferrari，2008；Taylor和Thompson，2023）。因此，這些方法的性能通常在高度理想化的條件下進行評估，例如簡化的單鋒面設置、均勻分層或設計的用于隔離單個動力過程的應變場。ML方法通常使用粗分辨率模型中的可解析量作為輸入，將目標參數(shù)化項視為輸出，并通過“黑箱”算法建立輸入-輸出關系（Bolton和Zanna，2019；Rasp等人，2018；Zhu等人，2022）。這些訓練好的模型可以作為SVHT的參數(shù)化方案集成到數(shù)值框架中，盡管缺乏顯式的數(shù)學公式（Bodner等人，2023；Zhou等人，2024）。受尺度和“黑箱”ML方法的啟發(fā)，我們引入了一種基于符號智能的尺度約束方法（SCSI）來參數(shù)化SVHT。尺度約束意味著所提出的方案是在現(xiàn)有尺度理論的約束下推導出來的，將這些理論作為先驗結構輸入，同時確保結果參數(shù)化的性能不遜于現(xiàn)有方法。SCSI方法提供了顯式的數(shù)學公式，并利用ML算法來尋找合適的公式。

SCSI是一種符號機器學習方法，通過輸入變量和符號運算遍歷目標變量的數(shù)學表達式，從而學習非線性關系，生成可解釋的數(shù)學公式（Ahvanooey等人，2019；Koza，1993；Koza，1994）。這種方法有兩個優(yōu)勢：（1）與針對理想化場景的1-2種機制定制的動力尺度方法不同，它可以用于實際案例的參數(shù)化方案（例如，同時考慮平流和MLI效應）；（2）與傳統(tǒng)的“黑箱”ML方法不同，它可以為目標變量提供顯式的數(shù)學公式。SCSI已被廣泛使用，例如從行星運動數(shù)據(jù)中重新發(fā)現(xiàn)開普勒第三定律（Schmidt和Lipson，2009）、制定土壤濕度動力學的控制方程（Im等人，2021）以及重建馮·卡門渦脫落現(xiàn)象（Sun等人，2022）。然而，盡管SCSI具有這些優(yōu)勢，但它尚未被用于設計海洋模型的亞網(wǎng)格參數(shù)化方案。

因此，在傳統(tǒng)尺度的基礎上，我們利用SCSI算法將中尺度渦旋的平流效應和應變效應納入SVHT參數(shù)化方案中。先前的研究已經(jīng)明確指出，在參數(shù)化框架中整合物理機制的重要性。在MITgcm LLC4320驗證中，MLI-SIF混合尺度方法的表現(xiàn)優(yōu)于單一機制（MLI）公式（Zhang等人，2023），這提供了多機制整合能夠提高參數(shù)化效果的經(jīng)驗證據(jù)。然而，新興研究表明平流對SVHT動力學有顯著影響——這是當前參數(shù)化方案中忽略的一個關鍵因素（Chen等人，2024），我們將其作為重點并納入了SCSI框架中。

本研究旨在開發(fā)包含平流的SVHT顯式參數(shù)化方案，并將其性能與現(xiàn)有尺度方法進行評估。論文結構如下：第2節(jié)描述數(shù)據(jù)和方法；第3節(jié)闡述SVHT現(xiàn)象并進行動態(tài)分析；第4節(jié)開發(fā)新的參數(shù)化方案并評估其在表示SVHT方面的性能；第5節(jié)提供總結和討論。

在本節(jié)中，我們描述了雙鋒面實驗中的SVHT現(xiàn)象，并將其與現(xiàn)有尺度方法進行了比較。同時評估了平流和應變在調(diào)節(jié)SVHT中的作用。

在這里，我們使用SCSI開發(fā)了兩種顯式參數(shù)化模型（圖2）。第一種方法HSI直接從輸入變量生成SVHT的參數(shù)化方案。相比之下，BSI主要生成SVHT偏差的公式，即SVHT與現(xiàn)有尺度預測之間的差異。圖2詳細展示了這兩種SCSI模型的輸入-輸出配置。

基于理想化的MITgcm實驗，本研究開創(chuàng)了一種SCSI方法來制定SVHT參數(shù)化方案。該方法基于現(xiàn)有的尺度理論，同時考慮了平流和應變效應。由于這兩個變量與SVHT之間存在顯著的信息流動，因此將平流和應變率納入了參數(shù)化中。這里提供了兩種類型的SCSI參數(shù)化方案：HSI和BSI。前者旨在直接預測SVHT，而后者則用于預測...

嚴冰錚：撰寫——審稿與編輯、撰寫——初稿、可視化、驗證、軟件、資源、方法論、調(diào)查、形式分析、數(shù)據(jù)管理、概念化。王俊毅：撰寫——審稿與編輯、監(jiān)督、軟件、方法論、形式分析、數(shù)據(jù)管理。陳茹：撰寫——審稿與編輯、監(jiān)督、項目管理、方法論、資金獲取、形式分析、概念化。鄭天穆：撰寫——審稿與...

作者聲明他們沒有已知的財務利益或個人關系可能影響本文所述的工作。

我們感謝國家自然科學基金（42476007, 42076007）的支持。同時感謝馬書月就亞中尺度過程提供的有益討論。