流體結(jié)構(gòu)相互作用（FSI）問題是指可變形或可移動(dòng)的彈性結(jié)構(gòu)與周圍流體相互作用的問題，出現(xiàn)在許多科學(xué)和工程領(lǐng)域中，例如生物力學(xué)。其中，佩斯金問題[1]、[2]以佩斯金在浸入邊界方法（IBM）方面的開創(chuàng)性工作命名，是模擬彈性結(jié)構(gòu)與不可壓縮流體相互作用的基礎(chǔ)模型，例如浸入二維斯托克斯流體中的彈性纖維。本文的目的是提出一種簡單高效的數(shù)值算法來解決佩斯金問題，并解決幾個(gè)關(guān)鍵挑戰(zhàn)，包括處理移動(dòng)界面和保持能量穩(wěn)定性。
解決具有界面或浸入邊界問題的數(shù)值近似方法分為兩類，這取決于界面是否與網(wǎng)格匹配，通常稱為非適配網(wǎng)格方法和適配網(wǎng)格方法。非適配網(wǎng)格方法作為一種強(qiáng)大的方法出現(xiàn)，用于解決界面問題。這些技術(shù)使用與界面幾何形狀無關(guān)的背景網(wǎng)格，避免了昂貴的網(wǎng)格生成和適應(yīng)過程。該框架內(nèi)的方法包括切割有限元方法（參見[3]中的綜合綜述）和非適配尼茨切有限元方法[4]、[5]、[6]，它們結(jié)合了穩(wěn)定技術(shù)來處理小的切割元素并強(qiáng)制執(zhí)行界面條件；浸入式有限元方法[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]和擴(kuò)展有限元方法[14]、[15]、[16]、[17]，豐富了局部近似空間以捕捉不連續(xù)性；浸入式界面方法[18]、[19]、匹配界面和邊界方法[20]、[21]以及幽靈流體方法[22]、[23]，它們修改了界面附近的有限差分或有限元方案。其他流行的方法包括虛擬域方法[24]、分段多項(xiàng)式離散化[25]、位移邊界方法[26]等。總體而言，這些方法在界面元素的離散公式中引入了特殊的形狀函數(shù)或特殊形式。雖然非適配網(wǎng)格方法在處理移動(dòng)界面方面具有顯著優(yōu)勢(shì)，但在高效實(shí)現(xiàn)和適當(dāng)選擇懲罰參數(shù)方面仍存在挑戰(zhàn)。
適配網(wǎng)格方法也是解決界面問題的流行方法，其中計(jì)算網(wǎng)格的元素邊緣或面與界面一致，使得能夠在界面上精確施加跳躍條件（例如，通量連續(xù)性），并且通常能夠獲得最優(yōu)的收斂率。此外，它們使用標(biāo)準(zhǔn)的有限元空間，不需要額外的懲罰項(xiàng)，避免了非適配網(wǎng)格方法的穩(wěn)定性挑戰(zhàn)。因此，離散方案簡潔，得到的代數(shù)系統(tǒng)可以通過現(xiàn)有的求解器求解。這一類別中的關(guān)鍵方法包括有限元方法[27]、有限體積方法[28]、不連續(xù)伽遼金方法[29]、[30]、弱伽遼金方法[31]。適配網(wǎng)格方法的主要挑戰(zhàn)在于生成完全符合材料界面的網(wǎng)格。這對(duì)于復(fù)雜和演變的界面來說尤其會(huì)帶來顯著的開銷。當(dāng)生成與界面匹配的網(wǎng)格時(shí)，元素的質(zhì)量也會(huì)影響有限元解的準(zhǔn)確性。據(jù)我們所知，關(guān)于使用適配網(wǎng)格方法解決佩斯金問題的研究仍然很少，而關(guān)于非適配網(wǎng)格方法[32]、[33]、[34]、[35]的研究相對(duì)較多。
作為有限元方法的一種推廣，虛擬元素方法（VEM）[36]、[37]、[38]旨在處理具有任意多邊形或多面體形狀的復(fù)雜幾何形狀和網(wǎng)格，包括懸掛節(jié)點(diǎn)、非凸形狀的元素以及可以繪制的任何其他元素幾何形狀。在VEM框架下，構(gòu)建形狀函數(shù)空間的思想是，每一組自由度都關(guān)聯(lián)一個(gè)函數(shù)，該函數(shù)可能不是多項(xiàng)式，而是定義在多邊形或多面體元素中的偏微分方程（PDE）問題的平滑解。然后，使用依賴于自由度的可計(jì)算投影算子來設(shè)計(jì)可計(jì)算的離散方案。這一框架自然能夠適應(yīng)非凸元素、懸掛節(jié)點(diǎn)和自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化，使得VEM方法對(duì)于網(wǎng)格變形特別穩(wěn)健，并且適用于具有浸入式界面、材料異質(zhì)性或斷裂網(wǎng)絡(luò)的問題[39]、[40]。
VEM方法已成功應(yīng)用于一系列界面問題。最早，在[41]中，作者提出了一種簡單高效的界面適配網(wǎng)格生成算法，該算法在二維和三維中都可以實(shí)現(xiàn)，通過將單純形合并成背景Delaunay三角剖分中的多邊形或多面體來實(shí)現(xiàn)。在[42]中，開發(fā)了一種虛擬元素方法（VEM）用于解決由背景非適配網(wǎng)格切割的特殊類別多邊形網(wǎng)格上的二維Maxwell界面問題。在[43]、[44]、[45]中也開發(fā)了浸入式虛擬元素方法來解決界面問題。此外，在[46]、[47]、[48]中提出了一類擴(kuò)展虛擬元素方法，通過在界面元素的邊緣添加一些特殊項(xiàng)和離散雙線性形式中的幾個(gè)穩(wěn)定項(xiàng)。上述研究主要集中在固定界面上。最近，在[49]中提出了一種新穎的方法來解決具有移動(dòng)界面的橢圓問題。假設(shè)背景網(wǎng)格用8節(jié)點(diǎn)多邊形元素離散化，每條邊的中間節(jié)點(diǎn)隨界面移動(dòng)。
在本文中，得益于網(wǎng)格分解和形狀函數(shù)構(gòu)建的巨大優(yōu)勢(shì)，我們旨在提出一種用于斯托克斯流中具有移動(dòng)彈性界面的問題的虛擬元素方法。我們的想法部分源自[49]中的工作，但在這里我們面臨更多挑戰(zhàn)，包括滿足離散inf-sup條件、應(yīng)力跳躍條件的離散化以及如何設(shè)計(jì)一個(gè)完全離散的、無條件能量穩(wěn)定的方案。我們的方法基于笛卡爾背景網(wǎng)格。當(dāng)界面穿過背景笛卡爾網(wǎng)格時(shí)，每個(gè)未被界面切割的元素由八個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，即四個(gè)頂點(diǎn)和四條邊的中點(diǎn)。一旦元素被界面切割，我們將中點(diǎn)移動(dòng)到界面位置并更新元素連通性。然后，在空間近似中，速度的自由度定義為每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的評(píng)估值，壓力通過分段常數(shù)來近似。實(shí)際上，每個(gè)邊內(nèi)的節(jié)點(diǎn)不僅增強(qiáng)了inf-sup穩(wěn)定性，還能夠在不同時(shí)間靈活地匹配界面。為具有浸入式移動(dòng)界面的斯托克斯方程設(shè)計(jì)了半隱式離散化方法，其中離散的雙線性形式簡潔，無需使用額外的懲罰項(xiàng)。同時(shí)，近似的速度具有局部質(zhì)量守恒。在之前的時(shí)間層求解速度后，我們更新位于界面上的點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)，并使用三次樣條函數(shù)將這些點(diǎn)擬合成一條封閉曲線，該曲線將用于找到下一個(gè)時(shí)間層界面與背景網(wǎng)格邊緣的交點(diǎn)。從理論上講，我們證明了離散方案是無條件穩(wěn)定的。最后，通過廣泛的數(shù)值示例驗(yàn)證了我們方法的效率和準(zhǔn)確性，包括在適當(dāng)范數(shù)下的最優(yōu)收斂率以及準(zhǔn)確跟蹤界面演變的能力。
本文的結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)將介紹具有移動(dòng)界面的斯托克斯問題的表述。第3節(jié)依次介紹網(wǎng)格生成過程、虛擬元素空間、完全離散方案和穩(wěn)定性分析。第4節(jié)提供了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證我們方法在靜止和移動(dòng)界面情況下的準(zhǔn)確性和效率。最后，第5節(jié)給出結(jié)論。
