引言

在可靠性研究中，當對可修復系統的性能進行隨機建模時，系統通常會在某些（隨機的）時刻“從零開始”。這些時刻通常被稱為更新點（或簡稱為更新）。記錄系統中故障（更換）的隨機模型是更新過程。該模型中主要關注的量是更新函數（RF）M(t)，它表示時間區間[0, t]內的預期更新次數。更新函數的典型應用包括： - 可靠性建模與分析，例如可用性分析（[11], [16], [54]） - 面臨沖擊的系統的可靠性建模（[7], [17], [25], [28], [46]） - 保修分析（[21], [29], [34], [39]） - 維護與優化問題分析（[1], [20], [24], [47], [53]） - 供應鏈和庫存管理（[4], [27], [35]） 更新模型也出現在排隊論中，它們有助于分析和設計服務系統、計算機網絡和電信系統（[23], [40]）。 工程應用包括對退化基礎設施的生命周期分析。基于更新的模型已被用于評估受到腐蝕和地震影響的鋼筋混凝土橋梁，捕捉隨機退化并評估可用性和長期成本（[19]）。 此外，在實際情況下不滿足更新過程假設的情況下，可以使用各種泛化模型作為所考慮系統的隨機模型。例如，近年來在可靠性分析中特別流行的一種模型是馬爾可夫更新模型，參見[49], [52]及其中的參考文獻。更新理論也已擴展到具有簇間依賴性和到達時間間依賴性的簇過程，并在環境科學和保險領域得到應用（[3]）。 在本文中，我們提出了一些新的近似方法來計算當底層壽命分布為韋伯爾分布時的更新函數。在上述所有應用中，準確近似RF是非常可取的。另一方面，除了指數分布（在大多數實際情況中作為模型不現實外），韋伯爾分布是可靠性建模中最常用的概率分布。最近的研究強調了韋伯爾分布及其倒數分布（IW）家族在可靠性中的核心作用，參見[43]和[45]，這些研究強調了它們適用于建模單調和非單調故障行為的適用性。特別是，韋伯爾分布被廣泛用于分析各種情境下的壽命。例如，它常用于預測真空管、滾珠軸承和電氣絕緣材料的壽命。它還用于生物醫學領域，以模擬人類或實驗動物中腫瘤診斷的時間[51]。 此外，最近提出了幾種靈活的壽命模型，用于應用生存分析和可靠性分析，包括涉及COVID-19死亡數據的研究，展示了廣義分布框架的多功能性（[30], [42], [44]）。 計算更新函數的一種常見方法是使用拉普拉斯變換。當壽命分布F是相位型時，更新函數具有封閉形式，原則上可以進行顯式計算[2]。這類分布包括指數分布、指數分布與Erlang分布的混合等。對于不存在RF解析解的情況，已經開發了多種近似方法和界限。在第2節中回顧了一些在可靠性背景下更有用的近似方法；另見[12]和[33]。RF的界限已在[31], [36], [38]中給出，最近在[6]和[32]中也有所介紹。另一種計算更新函數的方法是蒙特卡洛模擬；鑒于計算速度和效率的顯著提高，這種方法越來越受到重視，參見[5], [16]和[48]。 我們的近似方法基于Politis和Koutras [36]提出的一個界限，該界限對于較小的和中等大小的t值表現良好。對于較大的t值，我們通過兩種方式改進了這一界限的性能：(i) 我們使更新函數的正確漸近行為與我們的近似行為相匹配；(ii) 我們使用三角函數來模擬更新函數的振蕩行為。韋伯爾更新函數的一個關鍵特征是其在無窮遠處的振蕩行為。Feller在其開創性論文[13]中提到，對于有界的更新方程的解，通常假設“它以振蕩方式趨近于一個有限極限q”。對于與韋伯爾分布相關的更新密度，這一理論論點得到了實證證據的支持。對該密度的數值研究（[8], [41]）已經證明其圍繞其極限持續振蕩一段時間。這反過來意味著更新函數M(t)在t/μ附近波動，對于較大的t值尤其如此。為了匹配這種行為，我們使用了形式為sin(t)/t的三角函數。據我們所知，這是首次使用三角函數來匹配更新函數的漸近行為。我們預計，對于其他在可靠性中感興趣且沒有封閉形式表達式并且在無窮遠處已知振蕩的量，也可以使用類似的方法進行近似。因此，我們預期在后續章節中采用的方法可能會為觀察到的振蕩行為的其他可靠性函數打開使用類似三角近似的大門。 本文的結構如下：在下一節中，我們回顧了一些關于更新函數的背景和已知近似方法。在第3節中，我們討論了兩種新的韋伯爾更新函數近似方法；在接下來的章節中，我們提出了另一種近似方法，并給出了一些數值結果來評估不同近似的準確性。最后一節是一些結論性的評論。 在以下章節的近似實現和數值演示中，始終使用了計算機代數軟件Mathematica。

小節片段

更新函數：定義和一些已知的近似方法

如前所述，更新過程常被用作可靠性理論和維護中的模型，或者更一般地，在涉及物品故障和更換的情況下。這些物品的壽命X1, X2, ……被假設為獨立同分布（iid）的非負隨機變量，具有分布函數F和概率密度函數f。更新（計數）過程{N(t), t≥0}記錄了連續的更換（更新），因此對于t≥0，N(t)…

前兩種近似方法

在本節中，我們提出了兩種新的韋伯爾更新函數近似方法。我們假設比例參數α=1。首先，我們回顧Politis和Koutras [36]得到的RF的下界： L(t) = t/μ1 + Fe′?μ2?μ1/2F(t)?1/F(t)?1/μ2μ1/2F(t)?1 其中μk是F的第k階矩（這里μ=μ1），F′是F的尾部。

第三種（更簡單的）近似方法和數值結果

在這里，我們提出了第三種RF近似方法，其思想與(18)相同，但更簡單。實際上，我們不再使用函數M_P(t)，而是使用以下形式的函數： M_P(t) = L(t) + A(sin(B(t)) + q 其中B=6.51107，q由(11)給出。因此，我們在本文中提出的第三種近似方法是： M_3(t) = (1 ? S)(M_0(t) · M_P(t)) + S(M(t) · M_P(t)) 其中A(β, t)是需要確定的未知量。嘗試找到使A(β, t)的值，以最小化與“真實”值的距離。

結論性評論

- 在本文中，我們使用了Xie的算法（一種數值方法）來找到(7)中下界的誤差，然后尋找一個數學函數來適當表示這個誤差。當然，擁有解析近似而不是數值近似有明顯的優勢；在當前背景下，擁有更新函數的公式使我們能夠獲得通過更新函數表達的各種其他感興趣量的近似值。

未引用的參考文獻

[37]

資金來源

本工作部分得到了比雷埃夫斯大學研究中心的支持。

CRediT作者貢獻聲明

Christos G. Papadopoulos：概念化、方法論、形式分析、寫作——原始草稿。 Konstadinos Politis：概念化、方法論、形式分析、寫作——審閱與編輯。

利益沖突聲明

作者聲明他們沒有已知的可能會影響本文報告工作的財務利益或個人關系。