在過去的二十年里，多尺度耦合方法作為一類重要的同時(shí)多尺度方法，吸引了包括力學(xué)、材料科學(xué)、生物化學(xué)和數(shù)學(xué)等多個(gè)學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。準(zhǔn)連續(xù)（QC）方法，也稱為原子到連續(xù)（a/c）耦合方法，是分子力學(xué)（MM）中典型的多尺度耦合方法之一，旨在實(shí)現(xiàn)模擬晶體缺陷時(shí)的（準(zhǔn)）最佳準(zhǔn)確性和效率平衡[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]。QC方法的基本思想是在局部缺陷（也稱為原子區(qū)域）附近使用相對(duì)更精確的分子力學(xué)模型，而在彈性遠(yuǎn)場(chǎng)（也稱為連續(xù)區(qū)域）使用連續(xù)模型，如柯西-玻恩近似。
不同QC方法的建模和“事先”分析已經(jīng)得到了全面的研究[6]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]。我們還可以參考[4]、[32]中的綜述和基準(zhǔn)測(cè)試，以及[5]中關(guān)于嚴(yán)格“事先”誤差分析的框架。然而，對(duì)于QC方法來說，自適應(yīng)性同樣重要。這是因?yàn)椴牧舷到y(tǒng)可能非常復(fù)雜，以至于沒有足夠的“事先”知識(shí)來指導(dǎo)原子區(qū)域和連續(xù)區(qū)域的劃分以及適當(dāng)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，從而實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確性和效率之間的最佳平衡。因此，“事后”估計(jì)和相應(yīng)的自適應(yīng)算法對(duì)于QC方法的實(shí)際應(yīng)用至關(guān)重要[33]、[34]。
基于理論的“事后”誤差估計(jì)有兩種主要方法，這兩種方法都被自適應(yīng)QC方法所采用。第一種是目標(biāo)導(dǎo)向的方法，旨在“減少解的某個(gè)函數(shù)的誤差”[35]，這些函數(shù)通常被稱為“感興趣的量”[36]、[37]、[38]、[39]。基于這種方法的自適應(yīng)QC方法已應(yīng)用于一維Frenkel-Kontorova模型的模擬[40]、[41]、[42]和三維納米壓痕問題[43]。后來，這種方法還被應(yīng)用于基于Arlequin框架的QC方法的自適應(yīng)模型誤差控制[14]、[44]。這種方法的主要缺點(diǎn)是很難獲得感興趣量的良好估計(jì)，從而導(dǎo)致自適應(yīng)過程的適當(dāng)停止標(biāo)準(zhǔn)難以確定[45]。
本研究關(guān)注第二種方法，即基于殘差的“事后”誤差估計(jì)，該方法旨在“減少誤差的范數(shù)”[35]。這種方法最初被用于一維一致QC方法的“事后”誤差控制問題[24]、[46]。隨后，它被擴(kuò)展到具有最近鄰相互作用的兩維點(diǎn)缺陷的幾何重構(gòu)原子到連續(xù)（GRAC）方法[47]，并進(jìn)一步推廣到有限范圍相互作用[48]。然而，后來人們注意到基于殘差的估計(jì)方法計(jì)算成本較高，這主要是由于不同尺度模型的晶格和網(wǎng)格不匹配所致。我們最近的努力致力于解決這個(gè)問題，并在效率和自適應(yīng)模擬到更現(xiàn)實(shí)的缺陷（如位錯(cuò)和交互空位）方面取得了顯著改進(jìn)[49]。
盡管現(xiàn)有的基于殘差的方法可以進(jìn)一步擴(kuò)展到更廣泛的QC方法和缺陷類型，但這種方法存在一些關(guān)鍵限制。首先，“事后”誤差估計(jì)器依賴于特定的耦合方案，這導(dǎo)致代碼的可重用性較低，從而實(shí)現(xiàn)效率低下。其次，估計(jì)器的公式通常很復(fù)雜，導(dǎo)致實(shí)現(xiàn)和計(jì)算成本較高。特別是，在多尺度科學(xué)和工程中廣泛使用的混合QC方法[2]、[32]、[50]、[51]、[52]、[53]中，基于殘差的“事后”誤差估計(jì)在多于一個(gè)維度上尚未實(shí)現(xiàn)。
本工作的目的是解決上述關(guān)鍵限制。通過基于“殘差力”推導(dǎo)誤差估計(jì)器，我們能夠?yàn)橐话阋恢翾C方法提供統(tǒng)一的“事后”誤差估計(jì)。然后使用這種統(tǒng)一的誤差估計(jì)器來設(shè)計(jì)幾種代表性QC方法的自適應(yīng)算法。這些算法隨后被用于對(duì)具有實(shí)際重要性的幾種晶體缺陷進(jìn)行自適應(yīng)模擬。具體來說，我們的貢獻(xiàn)體現(xiàn)在以下三個(gè)方面。
首先，我們基于“殘差力”推導(dǎo)出統(tǒng)一的“事后”誤差估計(jì)器，與之前基于“殘差應(yīng)力”的估計(jì)器[24]、[46]、[47]、[48]、[49]不同。基于殘差力的估計(jì)器不依賴于我們考慮的特定QC方法，并且我們提供了一個(gè)理論框架，證明這種估計(jì)器可以提供離散H^1范數(shù)下真實(shí)誤差的上界。
其次，我們?yōu)橐幌盗蠶C方法開發(fā)了新的自適應(yīng)算法，這些方法涵蓋了從尖銳界面到混合界面、基于能量到基于力的類型。這些算法旨在自動(dòng)調(diào)整連續(xù)區(qū)域中的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及原子區(qū)域和混合區(qū)域的分配。所有自適應(yīng)算法本質(zhì)上都基于基于力的統(tǒng)一誤差估計(jì)器，只需要進(jìn)行算法調(diào)整。我們注意到，基于理論的“事后”誤差估計(jì)和完全自適應(yīng)算法（同時(shí)考慮網(wǎng)格細(xì)化和區(qū)域分配）首次在多于一個(gè)維度上為廣泛使用的混合QC方法[15]、[30]、[54]開發(fā)。
第三，我們對(duì)各種類型的晶體缺陷（包括裂紋）的自適應(yīng)模擬中的誤差控制策略進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證，據(jù)作者所知，這在QC背景下是首次實(shí)現(xiàn)的。自適應(yīng)模擬表明，所提出的算法能夠產(chǎn)生最佳的誤差收斂率和（準(zhǔn)）最優(yōu)的域分解。對(duì)裂紋的自適應(yīng)QC方法的系統(tǒng)研究是一項(xiàng)開創(chuàng)性工作，利用了統(tǒng)一的基于殘差力的“事后”誤差估計(jì)器的優(yōu)點(diǎn)。相反，“事先”分析提出了需要高級(jí)技術(shù)來有效解決的挑戰(zhàn)。這種方法的固有效率和顯著的靈活性不僅拓寬了視野，還為研究實(shí)際晶體缺陷（如晶界）提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
為了確保陳述的清晰性，我們專注于二維中具有有限范圍相互作用的原子系統(tǒng)。然而，所提出的統(tǒng)一框架可以潛在地?cái)U(kuò)展到其他一致的多尺度耦合方案和三維問題。本文最后還討論了包括其他耦合方案的更高效策略以及擴(kuò)展到三維中的實(shí)際晶體缺陷（如部分位錯(cuò)和晶界）的進(jìn)一步研究。
本文的結(jié)構(gòu)如下。第2節(jié)中，我們介紹了晶體缺陷的數(shù)學(xué)概念以及原子方法和準(zhǔn)連續(xù)方法的一般公式。第2.3節(jié)還給出了QC方法的“事先”估計(jì)和一致性的定義。第3節(jié)系統(tǒng)地推導(dǎo)了基于殘差的誤差估計(jì)器，并證明了該估計(jì)器可以提供真實(shí)近似誤差的上界。此外，第3.4節(jié)還給出了一種評(píng)估局部誤差貢獻(xiàn)的有效方法。第4節(jié)，我們分別基于剛剛推導(dǎo)出的誤差估計(jì)器，為尖銳界面和混合QC方法開發(fā)了自適應(yīng)算法。我們注意到，用于自適應(yīng)分配混合區(qū)域的算法是首次在文獻(xiàn)中提出的。第5節(jié)，我們展示了我們考慮的幾種晶體缺陷的自適應(yīng)模擬，并對(duì)我們的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行了全面的討論和解釋。第6節(jié)，我們總結(jié)了我們的結(jié)果并討論了可能的未來方向。
我們使用符號(hào)?·, ·?來表示Banach空間及其對(duì)偶空間之間的抽象對(duì)偶配對(duì)。符號(hào)|·|通常表示歐幾里得范數(shù)或Frobenius范數(shù)，而‖·‖表示算子范數(shù)。對(duì)于E∈C^2(X)，第一和第二變體分別表示為?δE(u), v?和?δ^2E(u)v, w?，其中u, v, w∈X。對(duì)于二階張量，我們表示為A B A : B : = ∑ i , j A i j B i j
