《Advances in Bamboo Science》：Influence of tapered geometry on modal frequencies of bamboo frames
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本文針對竹材因其天然幾何變異性（如錐度）在動態結構設計中帶來的挑戰，探討了忽略錐度而采用等效均一模型進行設計可能導致的非保守結果。研究者通過建立竹竿的錐形空心截面梁動力學模型，并結合參數化模態分析，系統評估了幾何參數對竹梁及框架系統橫向振動特性的影響。研究通過與ISO 22156:2021標準推薦的等效均勻方法對比，明確了簡化模型在竹結構動力設計中仍可適用的邊界條件，為竹結構的安全、高效動力分析與抗震設計提供了理論依據。
在全球應對氣候變化、推動建筑業可持續發展的背景下，尋找“綠色”建筑材料已成為當務之急。竹子，這種生長迅速的可再生資源，以其可與木材媲美的強重比，展現出作為建筑材料的巨大潛力，尤其在南美洲、非洲和亞洲等竹資源豐富的地區，傳統全竹結構建筑頗為常見。然而，天然竹竿作為建筑材料面臨一個核心挑戰：其截面尺寸（如直徑、壁厚）會沿長度方向發生顯著變化，形成錐度，導致沿構件的剛度和質量分布不均勻。這種天生的“不規則身材”給結構設計，特別是動力響應分析帶來了難題。目前常見的設計實踐是將竹結構建模為截面均勻或等效均勻的桿件，采用平均或最小截面尺寸進行計算。這種做法在靜態分析中或許可行，但對于竹結構常需面對的另一個嚴峻考驗——地震等動力荷載——卻可能埋下隱患。因為結構的動力響應（如振動頻率、周期）高度依賴于其剛度分布，使用錐形桿件與使用棱柱形（等截面）桿件計算出的模態頻率會有所不同，從而導致基于簡化模型的設計可能“不安全”。那么，竹竿的錐度究竟對其動力性能有多大影響？在什么條件下，現有的簡化設計方法仍然是可靠的呢？
為了回答這些問題，發表在《Advances in Bamboo Science》上的一項研究，對錐度幾何如何影響竹梁和框架系統的模態頻率進行了深入評估。研究人員通過建立錐形空心截面竹竿的動力學解析公式，并結合參數化模態分析，系統探究了常見竹種自然變異范圍內的幾何參數對橫向振動特性的影響。研究的關鍵在于，將這種考慮錐度的精細模型與ISO 22156:2021標準中為靜態設計推薦的等效均勻方法進行了對比，從而明確了簡化方法在竹結構動力設計中仍可適用的“安全區”與“危險區”。
為了開展這項研究，作者們主要應用了以下幾項關鍵技術方法：首先是建立錐形竹竿的解析動力學模型，基于歐拉-伯努利梁理論，推導了截面尺寸（外半徑R(x)和內半徑r(x)）沿長度線性變化的空心圓柱錐形梁的橫向振動控制方程。其次是數值模擬與離散化方法，對于無法獲得解析解的一般錐度情況，將錐形桿件離散為多個等截面的子單元進行建模，采用了分布質量和集中質量兩種數值策略。再者是參數化模態分析，在涵蓋常見竹種自然變異范圍的幾何參數空間內，對竹梁系統和框架系統進行了系統的模態計算。最后是對比分析方法，將上述考慮錐度的模型（解析或數值）的計算結果，與ISO標準推薦的采用平均截面或最小截面的等效均勻模型的計算結果進行系統比較，以評估誤差。
2.1 錐形竹竿的解析公式
研究首先對錐形竹竿進行了精確的數學描述�？紤]一個長度為L的通用空心圓柱錐形梁，其外半徑R(x)和內半徑r(x)沿長度x方向線性變化�；诖�，截面面積A(x)和慣性矩I(x)可表達為關于x的函數。通過引入無量綱坐標ξ和非量綱錐度比等參數，研究者將經典的歐拉-伯努利橫向振動微分方程轉化為一個包含幾何參數的無量綱形式。該方程的通解通常難以用初等函數表示，但研究指出在兩種特殊情況下存在封閉解：一是截面均勻的棱柱形桿件（cex= cin= 0），其解為標準的三角函數和雙曲函數的組合；二是內外錐度滿足特定比例關系（cex= cin(1+s)）的錐形桿件，其解可用第二類貝塞爾函數表示。對于更一般的錐度情況，則需要借助數值方法求解。
2.2 錐形竹竿的數值方法
對于無法獲得解析解的一般情況，研究采用了兩種基于離散化的數值建模策略。第一種是分段均勻子單元法，即將錐形桿件沿長度方向離散為n個等截面的子單元，每個子單元的截面屬性（面積Amj和慣性矩Imj）取該段兩端截面的平均值。這樣，整個錐形桿的振動解就由這n個子單元的解析解（形式同棱柱桿）在界面處滿足位移、轉角、彎矩和剪力的連續性條件以及兩端邊界條件拼接而成，最終通過求解一個線性方程組來確定系統的無量綱頻率λ。第二種方法是集中質量法，這是一種更簡化的建模方式，將桿件的質量集中到若干個節點上，而剛度特性則由連接這些節點的無質量彈性梁單元提供，進而通過求解特征值問題來獲得模態頻率。
2.3 等效均勻模型
作為對比基準，研究引入了ISO 22156:2021標準中推薦的簡化方法，即用一根等截面的均勻桿件來等效替代錐形竹竿。等效截面的直徑通常取錐形桿件兩端的平均值或最小值。該研究將這種等效均勻模型也納入分析框架，旨在評估其在動力分析中的可靠性。
通過上述方法的系統分析與比較，本研究得出了若干重要結論：
首先，錐度會顯著影響竹構件的模態頻率。分析表明，與精確考慮錐度的模型相比，采用等效均勻模型（無論是取平均截面還是最小截面）計算出的基頻（第一階模態頻率）可能存在顯著偏差。這種偏差的大小和方向（即預測頻率是偏高還是偏低）取決于具體的錐度參數（如c?ex, c?in）和邊界條件。
其次，研究明確了等效均勻模型的適用界限。通過與ISO標準方法的對比，研究者能夠定量地指出在哪些幾何參數范圍內（例如錐度較小時），使用平均截面或最小截面進行等效均勻近似所帶來的頻率誤差在可接受的工程公差之內，因而簡化方法仍然可以用于動力設計。反之，當錐度較大時，這種簡化會引入不可忽視的誤差，可能導致非保守的設計（即實際結構比設計更“柔”，自振周期更長，在地震中可能更不利），此時則必須考慮錐度的影響。
最后，研究為竹結構的動力設計提供了實用指導。本文的工作將錐度的影響進行了參數化和量化，為工程師在設計階段評估是否需要對竹竿的幾何變異性進行更精細的建模提供了判斷依據。這對于確保竹結構，特別是位于地震區竹結構建筑的動力安全性和振動適用性（如樓板振動的舒適度）具有重要意義。
綜上所述，這項研究深入揭示了竹材天然錐度對其結構動力特性的關鍵影響，架起了材料自然屬性與工程安全設計之間的橋梁。它不僅證實了在動力分析中簡單化處理錐度可能帶來的風險，更重要的是，通過系統的參數化分析，為國際標準ISO 22156的實踐應用提供了關鍵的補充和限定條件，指出了簡化方法適用的“安全區”。這有助于推動竹結構在可持續建筑領域更廣泛、更安全的應用，使這種古老的建筑材料在現代工程實踐中煥發出新的生命力。
