《Ain Shams Engineering Journal》：On Martínez-Kaabar fractal-fractional double Laplace transformation
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本研究為應對復雜物理現象中兼具記憶效應與分形行為的建模挑戰，將Martínez-Kaabar分形-分數階（MKF-F）微積分理論拓展至雙Laplace變換領域，提出了創新的MKF-F雙Laplace變換。研究人員建立了該變換的基本理論，并成功構建了用于求解各類具有分形效應的非整數階偏積分-微分方程的變換法，通過算例驗證了方法的有效性。這項研究為求解復雜系統的數學物理方程提供了新的理論工具。
在描述現實世界中的復雜動態系統時，科學家和工程師們常常遇到一些棘手的難題：許多物理現象，比如湍流、熱傳導中的記憶效應，或是經濟系統的長期依賴行為，都無法用傳統的微積分方程完美刻畫。這些現象往往同時表現出兩種奇特的性質：一是“分形”特性，意味著它們在各個尺度上展現出相似的、不規則的復雜幾何結構；二是“記憶”或“歷史依賴性”，即系統的當前狀態受到其過去所有狀態的影響。為了同時捕捉這兩種特性，數學家們發展出了分形-分數階（F-F）微積分這一前沿分支。然而，面對更加復雜的、涉及多個變量的方程，特別是兼具微分、積分和分形-分數階效應的偏積分-微分方程（PIDEs）時，求解工具仍顯匱乏，這成為了推動該領域發展的關鍵瓶頸。
為了攻克這一難題，Francisco Martínez和Mohammed K.A. Kaabar兩位研究人員，在發表于《Ain Shams Engineering Journal》的論文中，將一種名為Martínez-Kaabar分形-分數階（MKF-F）的新興微積分理論與強大的積分變換工具——雙Laplace變換相結合，開創性地提出了“MKF-F雙Laplace變換”，并成功將其應用于求解各類非整數階偏積分-微分方程。這項研究的意義在于，它為分析和求解那些描述具有分形結構和長程記憶效應的復雜系統的方程，提供了一個統一且強有力的新數學框架。
為了開展這項研究，作者們主要運用了幾個關鍵的技術方法：首先，他們基于此前提出的多參數MKF-F導數定義，構建了相應的雙積分算子；其次，他們將此雙積分算子融入經典的雙Laplace變換，從而嚴格定義了MKF-F雙Laplace變換及其逆變換；接著，他們系統性地證明了新變換的存在性條件、基本函數變換公式、與MKF-F偏導數的關系以及核心的卷積定理等一系列基礎理論；最后，基于這些理論，他們構建了求解F-F偏積分-微分方程的MKF-F雙Laplace變換法。整個方法論的核心是理論推導與構建，并通過多個具體的方程求解算例來驗證方法的可行性與有效性。
研究結果
2. 預備知識
本節回顧了MK微積分理論的基礎。作者首先給出了MK導數（MKDβ,ψ）的定義，它是一個依賴于三個參數（β, ψ, μ）的極限定義，其中β是分數階階數，ψ控制尺度因子，μ調整Gamma函數的參數。當β=ψ=1時，該定義退化為經典導數。若函數可微，則MK導數可表示為經典導數與一個含參數和冪函數的系數W(β,ψ,μ)t2-β-ψ的乘積。對于冪函數tμ，其MK導數有簡潔表達式，且該結果與文獻中基于冪律的Liouville-Caputo型F-F導數結果一致。此外，論文還列出了指數、正弦、余弦等基本函數在特定形式下的MK導數結果。隨后，定義了MK積分（MKIβ,ψa）作為帶權函數的Riemann積分，并給出了MK微分與積分互為逆運算的基本定理。最后，將MK導數的概念推廣到多元函數，定義了關于某個變量的MK偏導數，并介紹了函數空間Cβ,ψp的概念，為后續處理二元函數奠定了基礎。
MKF-F雙Laplace變換的理論構建
這是本文的核心創新部分。作者定義了一個二元函數u(x,t)的MKF-F雙Laplace變換。該變換通過引入一個包含MK雙積分算子的核函數，將經典的雙Laplace變換推廣到分形-分數階情形。他們隨后系統地建立了該新變換的整套理論：證明了變換存在的充分條件；計算了諸如1、eax+bt、sin(ax+bt)等基本二元函數的MKF-F雙Laplace變換；推導了新變換與函數u(x,t)的連續MKF-F偏導數（如MKDxβ,ψu, MKDtβ,ψu以及更高階混合偏導）之間的關系定理，這是將變換法應用于微分方程的關鍵；建立了重要的卷積定理；并定義了相應的逆變換。
MKF-F雙Laplace變換在求解F-F偏積分-微分方程中的應用
基于建立的理論，作者構建了求解F-F偏積分-微分方程的MKF-F雙Laplace變換方法。該方法的基本步驟是：對給定的方程施加MKF-F雙Laplace變換，利用導數變換定理將方程轉化為關于變換后函數的代數方程；求解這個代數方程得到解的變換式；最后通過逆變換求得原方程的解。論文通過三個具體的算例展示了該方法的應用：
- 1.
求解一個簡單的F-F偏微分方程。
- 2.
求解一個F-F偏積分-微分方程。
- 3.
求解一個更復雜的、帶有非齊次項的F-F偏積分-微分方程。
在每個例子中，作者都清晰地展示了應用變換法的全過程，并得到了方程的精確解，驗證了所提出方法的有效性和實用性。
結論與意義
本研究成功地將MKF-F微積分理論與雙Laplace變換相結合，提出并完善了MKF-F雙Laplace變換這一新的數學工具。通過嚴格的數學推導，建立了該變換的完整理論體系，包括存在性、基本性質、與導數的關系及卷積定理。最重要的是，研究構建了基于此變換的求解方法，并成功應用于求解幾類具有分形效應的非整數階偏積分-微分方程，獲得了精確解。
這項工作的意義重大而深遠。從理論角度看，它極大地擴展了積分變換理論的范疇，為分形-分數階微積分領域增添了新的強有力的分析工具。從應用角度看，它所提供的求解方法，為物理、工程、金融等諸多領域中描述具有記憶效應和分形特征的復雜動態系統的數學模型，開辟了新的求解途徑。該研究不僅解決了特定類型方程的求解難題，更重要的是展示了一種將先進微積分理論與經典變換方法相融合的通用框架，為未來處理更廣泛的復雜數學物理問題奠定了基礎。
