《Applied Mathematical Modelling》：Fracture analysis of 3D interface crack problems in two-dimensional hexagonal quasicrystal bi-materials. Part I: Theoretical formulations
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本文利用格林函數和擴展位移不連續（EDD）邊界積分-微分方程方法，系統性研究了二維六方準晶（2D hexagonal QC）雙材料中的三維界面裂紋問題。理論層面推導了該問題的核心控制方程，揭示了材料性能失配導致的微分項是界面裂紋振蕩奇異性場的成因，并為均質材料（非振蕩奇異性）和雙材料界面裂紋分別定義了擴展應力強度因子（ESIFs）和能量釋放率（ERR）。這項工作為準晶（QC）雙材料界面斷裂行為的定量表征奠定了理論基礎，為后續數值模擬（本文第二部分）提供了關鍵支持。
Section snippets
Basic equations
在忽略體力且考慮聲子場（phonon field）與相位子場（phason field）耦合效應的情況下，二維六方準晶在笛卡爾坐標系（x, y, z）中的靜力學平衡方程可表達如下：
σij, j= 0, Hkj, j= 0,
其中，i, j = x, y, z；k = x, y。σij代表聲子應力，Hkj代表相位子應力。
Boundary conditions
在三維空間中，兩種二維六方準晶材料完美結合，分別占據上半空間和下半空間。建立笛卡爾坐標系（x, y, z），使其oxy平面與界面重合。一個半徑為a的圓形幣狀裂紋位于此界面的中心，如圖1所示。裂紋的上、下表面分別標記為S+和S-。考慮一個圓柱坐標系（r, φ, z），其原點與笛卡爾坐標系的原點重合。
EDD boundary integral-differential equations for an arbitrarily shaped planar crack in 2D hexagonal QC bi-materials
考慮oxy平面上一個任意形狀的平面裂紋S。裂紋的上、下表面分別記為S+和S-，其對應的外法線向量為：
{ni}S+= {0, 0, -1}, {ni}S-= {0, 0, 1}.
對于斷裂分析，通過將無裂紋解與裂紋擾動解疊加，可以有效地將外部邊界載荷轉移至裂紋表面。無裂紋解易于求解。眾所周知，裂紋表面上的擴展牽引力...
EDD boundary integral equations
當裂紋上、下表面的材料性能相同時，雙材料簡化為均質材料，我們只需關注上半平面的分析。由于上、下材料相同，可以推斷：
∑2i=1A1i++ ∑2i=1A1i-= 0 且 ∑3j=1A2j++ ∑3j=1A2j-= 0，將方程（19）代入方程（18），相應的邊界條件可簡化為：
{ ∑2i=1(A1i+- A1i-) = -1/(2π),
∑2i=1(k1i+A1i+- k1i-A1i-) = 0,
∑3j=1(A2j+- A2j-) = 1/(2π),
∑3j=1(k2j+A2j+...
Singularity near the interface crack front
Tang等人分析了三維兩相彈性介質中界面裂紋的奇異行為。遵循類似步驟，本文將討論二維六方準晶彈性雙材料中的界面裂紋。
類似于對方程（39）和（40）的處理，方程（35）的超奇異部分在∑區域內應為有限值：
∫∑(1/r3) [ (3 cos2φ - 1) (L11[ux] + Lw11[wx]) + (3 sin2φ - 1) (L12[ux] + Lw12[wx])
- •
cosφ sinφ (L13[uy] + Lw13[wy]) ] dS(ξ, η) + 2π L14?[uz]/?x = F1(x, y),
∫∑(1/r3) [ (3 cos2φ - 1) (L11[uy] + Lw11[wy]) + (3 sin2φ - 1) (L12[uy] + Lw...
Conclusion
本研究采用格林函數和擴展位移不連續（EDD）邊界積分-微分方程方法，分析了二維六方準晶（2D hexagonal QC）雙材料中任意形狀的界面裂紋。研究表明，控制方程中的微分項源于界面兩側材料性能的失配，并生成了界面裂紋特有的振蕩奇異性場。隨著介質趨于均質，該微分項的系數變為零。
對于界面裂紋...
