在自動(dòng)控制領(lǐng)域，模型預(yù)測控制（Model Predictive Control, MPC），也稱為滾動(dòng)時(shí)域控制（Receding Horizon Control, RHC），是一種強(qiáng)大且應(yīng)用廣泛的控制策略。其核心思想是在每個(gè)控制時(shí)刻，在線求解一個(gè)有限時(shí)域的最優(yōu)控制問題（Optimal Control Problem, OCP），并將計(jì)算得到的最優(yōu)控制序列的第一個(gè)元素應(yīng)用于被控系統(tǒng)。然而，這種方法面臨一個(gè)根本性挑戰(zhàn)：僅通過優(yōu)化有限時(shí)域的目標(biāo)，通常無法保證閉環(huán)系統(tǒng)能漸近穩(wěn)定到期望的平衡點(diǎn)，而只能實(shí)現(xiàn)“實(shí)用”漸近穩(wěn)定，即系統(tǒng)狀態(tài)最終收斂到平衡點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)，鄰域的大小取決于優(yōu)化時(shí)域的長度。

為了獲得真正的漸近穩(wěn)定性，傳統(tǒng)方法通常需要聯(lián)合使用終端約束和終端代價(jià)。終端約束（例如，要求預(yù)測時(shí)域末端的狀態(tài)必須位于某個(gè)集合內(nèi)）和精心設(shè)計(jì)的終端代價(jià)（通常是一個(gè)局部控制李雅普諾夫函數(shù)）共同作用，可以確保控制器的穩(wěn)定性。但設(shè)計(jì)一個(gè)全局的控制李雅普諾夫函數(shù)通常非常困難，而終端約束的引入會增加在線優(yōu)化的計(jì)算復(fù)雜度和可行性問題。那么，一個(gè)自然而然的問題是：能否在不引入終端約束的情況下，僅通過設(shè)計(jì)合適的終端代價(jià)來保證漸近穩(wěn)定性？尤其是在所研究的最優(yōu)控制問題僅滿足“嚴(yán)格預(yù)耗散性”（strict pre-dissipativity）而非更強(qiáng)的“嚴(yán)格耗散性”（strict dissipativity）時(shí)，這一問題更具挑戰(zhàn)性。嚴(yán)格耗散性要求存在一個(gè)有下界的存儲函數(shù)（storage function），而嚴(yán)格預(yù)耗散性則允許存儲函數(shù)無下界。對于存儲函數(shù)無下界的問題，傳統(tǒng)的穩(wěn)定性理論不再直接適用。本文發(fā)表于控制領(lǐng)域頂級期刊《Automatica》，旨在深入探索并回答上述問題，為無終端約束MPC的設(shè)計(jì)提供新的理論工具。

為了開展這項(xiàng)研究，作者們聚焦于線性二次（LQ）框架。雖然存在處理一般非線性問題的伴隨論文，但線性二次設(shè)定允許研究者獲得更強(qiáng)、更具體的結(jié)果。研究主要運(yùn)用了代數(shù)Riccati方程（Algebraic Riccati Equation, ARE）理論、耗散性系統(tǒng)理論以及最優(yōu)控制中的標(biāo)準(zhǔn)工具，對問題進(jìn)行形式化描述和深入分析。通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，建立了終端代價(jià)設(shè)計(jì)與代數(shù)Riccati方程特定解之間的深刻聯(lián)系。

研究者考慮形如 xk+1=Axk+Buk的離散時(shí)間線性系統(tǒng)，其中 x∈Rnx為狀態(tài)，u∈Rnu為控制輸入。滾動(dòng)時(shí)域最優(yōu)控制問題旨在最小化一個(gè)給定的階段成本 ?(x,u)和終端成本 Vf(x)在有限預(yù)測時(shí)域 N上的總和。在本文聚焦的線性二次情況下，階段成本和終端成本具有特定的二次型形式。該研究關(guān)注的核心是，在最優(yōu)控制問題僅滿足嚴(yán)格預(yù)耗散性（即對應(yīng)的存儲函數(shù)可能無下界）時(shí)，終端成本 Vf(x)=xTPfx中的矩陣 Pf需要滿足何種條件，才能保證由此滾動(dòng)時(shí)域控制律產(chǎn)生的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。研究將這個(gè)問題與離散代數(shù)Riccati方程（Discrete Algebraic Riccati Equation, DARE）解的存在性和性質(zhì)緊密聯(lián)系起來。

本部分為證明主要結(jié)論提供了必要的理論準(zhǔn)備。首先，文章引入了嚴(yán)格(x,u)-預(yù)耗散性的定義和與之相關(guān)的旋轉(zhuǎn)成本（rotated cost）概念。對于一個(gè)給定的矩陣Λ和存儲函數(shù)λ(x)=xTΛx，旋轉(zhuǎn)成本L(x,u)定義為原成本函數(shù)經(jīng)過Λ變換后的形式。嚴(yán)格(x,u)-預(yù)耗散性成立等價(jià)于旋轉(zhuǎn)成本矩陣HΛ是正定的。這一變換是將耗散性分析轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)穩(wěn)定化問題的重要工具。文章還討論了通過預(yù)鎮(zhèn)定（pre-stabilization）將一般LQ問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的技術(shù)，這簡化了后續(xù)分析。

這是本文的核心部分，提出了保證穩(wěn)定性的關(guān)鍵條件。定理4.3指出，假設(shè)系統(tǒng)(A,B)可鎮(zhèn)定，并且存在一個(gè)矩陣Λ使得嚴(yán)格(x,u)-預(yù)耗散性成立（即HΛ?0）。那么，對于任意滿足Pf?Λ的終端代價(jià)矩陣Pf，只要預(yù)測時(shí)域N足夠長，由滾動(dòng)時(shí)域控制律產(chǎn)生的閉環(huán)系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。這里的“?”表示矩陣不等式。定理4.4進(jìn)一步強(qiáng)化了這個(gè)結(jié)論，指出如果存在一個(gè)矩陣P∞是離散代數(shù)Riccati方程（DARE）的一個(gè)解，并且滿足P∞?Λ，那么選擇Pf=P∞就能保證對于任意有限的預(yù)測時(shí)域N≥1，閉環(huán)系統(tǒng)都是漸近穩(wěn)定的。定理4.6則處理了Pf=Λ的臨界情況，指出此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)是李雅普諾夫穩(wěn)定的，并且當(dāng)N→∞時(shí)，滾動(dòng)時(shí)域控制律收斂到對應(yīng)的無限時(shí)域最優(yōu)控制律。這些定理清晰地表明，終端代價(jià)矩陣Pf必須“足夠大”（在矩陣不等式意義下大于耗散性分析中產(chǎn)生的矩陣Λ），才能補(bǔ)償因存儲函數(shù)無下界（即嚴(yán)格預(yù)耗散性）而可能缺失的穩(wěn)定性屬性。一個(gè)二次型的終端代價(jià)在此是必要且有效的。

本章節(jié)將本文的結(jié)果與現(xiàn)有研究進(jìn)行了對比和關(guān)聯(lián)。特別指出，本文的框架和結(jié)論可以涵蓋和推廣早期一些關(guān)于線性終端代價(jià)和終端約束的工作。例如，在Faulwasser和Zanon (2018) 以及Zanon和Faulwasser (2018) 的研究中，在假定系統(tǒng)局部線性二次近似可鎮(zhèn)定的前提下，使用線性終端代價(jià)也能獲得穩(wěn)定性。本文的結(jié)果表明，在嚴(yán)格預(yù)耗散的設(shè)定下，二次型終端代價(jià)是必要的，并且可以將之前工作中提出的線性部分整合進(jìn)來。文章也討論了與標(biāo)準(zhǔn)LQR（線性二次調(diào)節(jié)器）理論的關(guān)系，指出即使(Q,A)可檢測，如果終端代價(jià)Pf選擇不當(dāng)（例如太小），無限時(shí)域LQR也可能是不穩(wěn)定的甚至無解，這通過示例2.2進(jìn)行了生動(dòng)說明。

研究者通過一個(gè)標(biāo)量系統(tǒng)的數(shù)值例子，直觀地演示了理論結(jié)果。示例顯示，當(dāng)選擇終端代價(jià)矩陣Pf小于某個(gè)臨界值時(shí)，有限時(shí)域和無限時(shí)域LQR都無法鎮(zhèn)定系統(tǒng)；而當(dāng)Pf大于該臨界值時(shí)，對于一個(gè)足夠長的預(yù)測時(shí)域N，滾動(dòng)時(shí)域控制器能夠成功鎮(zhèn)定系統(tǒng)。這驗(yàn)證了定理4.3中關(guān)于Pf需足夠大且預(yù)測時(shí)域需足夠長的條件。

本文系統(tǒng)性地研究了對于嚴(yán)格預(yù)耗散的滾動(dòng)時(shí)域線性二次控制問題，如何通過設(shè)計(jì)合適的二次型終端代價(jià)（而無需終端約束）來確保閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。研究取得了以下關(guān)鍵結(jié)論：首先，明確指出了保證穩(wěn)定性的充分條件是終端代價(jià)矩陣Pf必須“大于”由耗散性分析得到的矩陣Λ（即Pf?Λ）。其次，將終端代價(jià)的設(shè)計(jì)與離散代數(shù)Riccati方程（DARE）的特定解聯(lián)系起來，為實(shí)際選擇Pf提供了明確指導(dǎo)（例如可選擇滿足P∞?Λ的DARE解P∞）。最后，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撟C明和數(shù)值示例，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

這項(xiàng)研究具有重要的理論和實(shí)踐意義。在理論上，它彌補(bǔ)了嚴(yán)格耗散性框架下穩(wěn)定性理論的缺口，將結(jié)論推廣至存儲函數(shù)可能無下界的嚴(yán)格預(yù)耗散情形，深化了人們對模型預(yù)測控制穩(wěn)定性機(jī)制的理解。在實(shí)踐上，它提供了一種無需設(shè)計(jì)復(fù)雜終端約束和全局李雅普諾夫函數(shù)的穩(wěn)定性保證方法，簡化了控制器的設(shè)計(jì)流程，尤其有利于在線計(jì)算。由于聚焦于線性二次問題，所得條件具體、可檢驗(yàn)，便于在實(shí)際控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中應(yīng)用。本文工作為無終端約束模型預(yù)測控制的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，是控制理論領(lǐng)域一個(gè)頗具價(jià)值的貢獻(xiàn)。