《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Existence of homoclinic orbits in three-dimensional piecewise linear forced oscillator systems
編輯推薦：
本文聚焦于高維非光滑動力系統中同宿軌道的存在性證明這一挑戰性難題。作者針對一類三維連續分段線性受迫振動系統，基于半Poincaré映射與不變流形理論，嚴謹地建立了連接鞍焦平衡點的Shilnikov型同宿軌道存在的一般條件，并通過數學分析和符號計算，給出了其存在的精確參數分析，輔以數值模擬驗證了結果的正確性。這項工作在理論上有所突破，并對相關應用領域具有啟發意義。
亮點 (Highlights) (從文檔內容看，原文并無“Highlight”字樣的小標題，此處根據您的指令，假定從“Introduction and main results”開始，并對應翻譯“Section snippets”中的各個小節。由于您要求翻譯“從Highlight開始到第二個Conclusion”，而文中無“Highlight”及“Conclusion”小節，只有“Introduction and main results”、“Geometric configuration”、“The existence of homoclinic orbits to E-”、“Numerical simulations”、“Summary and outlook”，因此將為您翻譯從“Introduction and main results”到“Summary and outlook”的全部內容。)
簡介與主要結果 (Introduction and main results)
同宿軌道 (homoclinic orbits) 是動力系統中一類有界的軌道，當時間t趨近于正負無窮 (±∞) 時，它們會漸近地趨向于同一個平衡點。從開創性的工作可知，同宿軌道能夠引發極其豐富的動力學現象。毫無疑問，作為非線性科學中一個非常有趣的現象，同宿軌道已引起了廣泛的關注，并應用于生物學、信號發生器、機械工程和混沌安全通信等多個領域。
幾何結構 (Geometric configuration)
在本節中，我們提供了在系統(6)的負半空間{x<0}、正半空間{x>0}局部包含的不變流形的基本幾何構型，同時還獲得了切換平面{x=0}上的流，見圖3。
通向E-的同宿軌道存在性 (The existence of homoclinic orbits to E-)
基于第2節中系統(6)的兩個子系統的幾何結構，我們為連接鞍焦平衡點E-的同宿軌道的存在性提供了分析證明。顯然，如果系統(6)有一條通向E-的同宿軌道，它必須在兩個點處橫截穿過{x=0}平面，其中一點必須是m-，另一點是H?-上的M-。這樣，一條完整的同宿軌道可以由三段組成：
Γ1：第一段由通過點m-的負向軌道構成。
數值模擬 (Numerical simulations)
本節，我們提供定理1的一些數值模擬示例，參見圖2(a)-(f)。我們以c=1.25的情況為例，詳細介紹同宿軌道的存在性及其三段。在此情況下，在參數λ=λh-=0.732044687下，系統(6)可寫為：
當x≥0時，? = y, ? = z, ? = 1 - y - 0.4055567998z - 1.341673293x；
當x≤0時，? = y, ? = z, ? = 1 - y - 0.4055567998z + 1.341673293x。
上述系統中正負子系統的平衡點為兩個鞍焦E±= (±0.7453379338, 0, 0)。
總結與展望 (Summary and outlook)
本文通過嚴格的分析證明和符號計算，專注于在一個由兩個子系統組成的三維分段線性受迫振動系統中同宿軌道的存在性。值得注意的是，本文研究的系統滿足與文獻[21]一致的Shil'nikov假設和非Shil'nikov假設。同時，我們可以放寬文獻[21]中的限制，即在假設λ>0足夠小且δ∈(0, 1.3]的情況下。此外，Shil'nikov提供了...
