《Case Studies in Thermal Engineering》：Thermo-bioconvective transport in an oxytactic microorganisms-laden cavity
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本研究針對含嗜氧微生物的多孔方腔，采用Cattaneo–Christov熱通量模型和Darcy流模型，探究了熱與質量傳遞特性。研究人員通過有限元法求解控制方程，分析了Lewis數、Péclet數、Rayleigh數和生物對流Rayleigh數等關鍵參數對流動、溫度、氧濃度及微生物分布的影響。研究結果顯示，微生物的存在可提升傳熱效率，Péclet數增大可顯著增強流動強度，而松弛參數的增大會抑制對流。該工作為優化多孔介質中的傳熱與生物對流過程提供了有價值的見解，尤其在涉及微生物活動的生物及生態系統中具有重要意義。
在自然界和眾多工程應用中，例如生物反應器、地下水修復、多孔生物醫學支架內的營養-氧氣輸運等，多孔介質中由溫度梯度和微生物活動驅動的復雜流體行為無處不在。理解這些系統中熱量、質量和微生物的耦合輸運過程，對于優化系統性能至關重要。傳統的傳熱分析多基于Fourier定律，它假定熱通量對溫度梯度的響應是瞬時的。然而，在許多涉及快速變化或微觀尺度效應的實際過程中，熱傳遞具有“記憶”或弛豫效應，傳統的模型可能無法準確描述。另一方面，某些微生物（如嗜氧微生物）能夠主動地向氧氣濃度更高的區域游動，它們的聚集和運動本身會產生一種被稱為“生物對流”的宏觀流動，這反過來又會影響熱和質量的分布。當這些微生物存在于多孔介質（如土壤、生物膜或人造多孔結構）中時，問題變得更加復雜：孔隙結構會阻礙流動，改變傳熱傳質路徑，而溫度梯度和微生物的趨氧行為又會驅動新的流動模式。那么，一個核心的科學問題隨之浮現：在考慮熱傳遞非瞬時效應（即有限弛豫時間）的前提下，多孔腔體內由溫度差和嗜氧微生物共同驅動的熱-生物對流傳輸過程究竟如何？關鍵參數如流動強度（Péclet數）、浮力效應（Rayleigh數）、微生物活動強度（生物對流Rayleigh數）以及熱弛豫時間，將如何塑造腔體內的流場、溫度場、氧氣分布和微生物濃度？這不僅是揭示多孔介質內復雜物理-生物耦合過程的基礎理論問題，也對設計高效的生物反應器、理解環境微生物輸運、乃至開發新型的生物熱能系統具有直接指導意義。
為了回答這些問題，由Muhammad Sabeel Khan等人組成的研究團隊在《Case Studies in Thermal Engineering》上發表了一項研究。他們構建了一個二維多孔方腔物理模型，腔體左側為熱壁，右側為冷壁，上下壁絕熱，腔內充滿含有嗜氧微生物的流體。研究采用了經典的Hillesdon和Pedley嗜氧微生物連續介質模型，并引入Cattaneo–Christov熱通量模型來修正能量方程，以考慮熱弛豫效應。流動采用Darcy定律描述，并應用Boussinesq近似。控制方程組包括連續性方程、動量（Darcy）方程、改進的能量方程、氧氣守恒方程和微生物細胞守恒方程。研究人員利用基于Galerkin加權殘差法的有限元法對這些高度非線性的控制方程進行了數值求解。通過流線、等溫線、濃度等值線以及關鍵參數如平均Nusselt數（Nuavg）和平均Sherwood數（Shavg）的定量分析，系統探究了Lewis數（Le）、Péclet數（Pe）、熱Rayleigh數（Ra）、生物對流Rayleigh數（Rb）以及熱弛豫參數（λ2）等一系列無量綱參數對系統內熱、質及微生物輸運特性的影響。
2. 數學建模
研究首先建立了完整的數學模型。考慮一個邊長為H的二維多孔方腔，其左右壁面分別保持恒定溫度TH和TC（TH> TC），上下壁面絕熱。腔內充滿含有嗜氧微生物的懸浮液，重力沿負y軸方向。模型基于Hillesdon和Pedley的連續介質模型，并引入了由溫度變化產生的浮力項。采用Boussinesq近似，并因生物對流流速較低而忽略慣性項。控制方程包括連續性方程、動量（Darcy）方程、引入了Cattaneo–Christov熱弛豫的時間相關能量方程、氧氣守恒方程以及細胞（微生物）守恒方程。其中，細胞通量包括流體宏觀運動、微生物趨氧性定向游動和隨機擴散三部分。通過引入特征尺度，如腔體高度H、熱擴散時間H2/αm等，將控制方程無量綱化，得到了以Prandtl數（Pr）、Darcy數（Da）、Lewis數（Le）、Péclet數（Pe）、熱Rayleigh數（Ra）、生物對流Rayleigh數（Rb）和熱弛豫參數（λ2）為關鍵參數的無量綱方程組及相應的邊界條件。
3. 數值方法
研究采用基于Galerkin加權殘差法的有限元法對控制方程進行數值求解。具體步驟包括：推導控制方程的弱形式，將求解域離散為三角形單元，在單元上使用二次插值函數近似速度和線性插值函數近似壓力，構建非線性代數方程組，并采用牛頓-拉夫森迭代法進行求解，直至滿足收斂準則。所有計算均在開源有限元軟件FreeFEM++中實現。
4. 結果與討論
研究通過可視化的流線、等溫線、氧濃度和微生物濃度分布圖，以及定量的平均Nusselt數（Nuavg）和平均Sherwood數（Shavg），詳細展示了各參數的影響。
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Péclet數（Pe）的影響：Pe數表征流動強度（對流與擴散之比）。研究發現，隨著Pe數從0.1增加到13，流函數最大值增大約44.2%，表明流動強度顯著增強。同時，Pe數從1增至29會導致最小氧濃度下降約16.1，說明在高Pe數下，對流主導的輸運加劇了氧氣的消耗和分布不均。
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熱弛豫參數（λ2）的影響：λ2表征Cattaneo–Christov模型中的熱弛豫時間效應。當λ2從0增加到2.55時，流函數最大值減少了41.3%。這表明熱弛豫效應會顯著抑制對流強度，因為熱通量的響應延遲削弱了由溫度梯度驅動的浮力流。
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微生物存在的影響：研究比較了有微生物和無微生物兩種情況。結果表明，微生物的存在改善了傳熱。在低Prandtl數下，Nusselt數增加約15%–20%，而在高Prandtl數下增加超過30%。這揭示了熱分層與生物對流之間存在協同效應，微生物的運動增強了混合，從而提升了傳熱效率。
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生物對流Rayleigh數（Rb）的影響：Rb數表征微生物密度差異產生的浮力效應。增大Rb數會增強由微生物聚集驅動的生物對流，從而改變流場結構，影響熱量和質量傳遞的空間分布。
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氧消耗參數的影響：氧消耗參數反映了微生物對氧氣的消耗速率。該參數增加會導致腔內最小氧濃度下降約12.9%，表明在塑造腔內氧氣分布方面，消耗過程相比擴散過程占主導地位。
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側壁傳熱傳質分析：研究還計算了熱壁和冷壁的局部及平均Nusselt數和Sherwood數。結果表明，這些參數受Rb、Pe和λ2的顯著影響。例如，增加Rb或Pe數通常會增強壁面傳熱，而增加λ2則會減弱壁面傳熱。
5. 結論
本研究成功數值模擬了采用Cattaneo–Christov熱通量模型的、含嗜氧微生物多孔方腔內的熱-生物對流傳輸過程。主要結論如下：首先，Péclet數（Pe）的增大會顯著增強流動強度，但也會導致更嚴重的氧氣耗竭。其次，熱弛豫參數（λ2）的增大對對流強度有顯著的抑制作用，凸顯了在預測涉及快速變化或微觀生物系統的傳熱時考慮有限熱傳播速度的重要性。第三，嗜氧微生物的存在通過生物對流運動增強了熱混合，使Nusselt數顯著提升，尤其是在高Prandtl數條件下。第四，生物對流Rayleigh數（Rb）是控制生物對流渦結構和強度，進而影響傳熱傳質空間不對稱性的關鍵參數。最后，氧氣消耗速率是決定腔內氧氣分布形態的主導因素，其影響超過擴散作用。
這項研究的意義在于，它首次系統探究了熱弛豫效應在含嗜氧微生物多孔腔體熱-生物對流過程中的作用，定量揭示了關鍵物理參數之間復雜的非線性相互作用。研究結果為了解多孔介質中熱量、氧氣和微生物的耦合輸運機制提供了新的視角，所建立的模型和獲得的數據對于優化一系列工程和生物系統具有參考價值，例如涉及微生物的廢水處理生物反應器、地下環境中的生物修復過程、以及組織工程中用于細胞培養的多孔支架內的營養和氣體輸運設計。通過闡明弛豫時間、微生物活動與多孔結構之間的 interplay，該工作為相關領域的進一步研究和應用奠定了理論基礎。
