傳染病動態(tài)模型的預(yù)測能力在多次全球性傳染病暴發(fā)中發(fā)揮了關(guān)鍵作用，包括2003年的SARS疫情、2009年的H1N1大流行和2019年的COVID-19大流行。數(shù)學模型已成為快速風險評估、決策支持和分析重大公共衛(wèi)生緊急響應(yīng)機制的主要研究工具。常見的傳染病模型包括常微分方程模型[1]、分數(shù)階模型[2]、離散模型[3]和偏微分方程模型[4]等。

自Kermack和McKendrick[5]在1927年提出基礎(chǔ)的SIR隔離模型以來，常微分方程傳染病模型的研究一直在不斷發(fā)展。出現(xiàn)了許多擴展模型，如SIR[6]、SIRS[7]、SEIR[8]、SEIRS[9]、[10]、[11]、SIQR[12]和SVIR[13]。這些模型由于其相對簡單的結(jié)構(gòu)、易于解釋的參數(shù)和便捷的計算優(yōu)勢，至今仍是描述疾病傳播最常用的核心工具。它們特別適合快速評估疫情趨勢、進行理論分析（如計算基本再生數(shù)$R_0$）和預(yù)測疫情高峰時間。然而，這些模型主要基于人口均勻混合的假設(shè)。當人口分布不均勻或個體接觸模式存在顯著差異時，它們的適用性將受到限制[14]、[15]。

此外，微分方程是建模傳染病的重要工具。其應(yīng)用源于早期生態(tài)學（例如描述具有離散世代的昆蟲種群的模型）。在傳染病研究中的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在兩個方面。首先，流行病數(shù)據(jù)（如每日新增病例數(shù)、每周康復(fù)人數(shù)）通常在固定時間間隔內(nèi)收集，微分方程的結(jié)構(gòu)自然與這些離散時間點相匹配，便于直接擬合和分析。其次，控制措施（如封鎖和疫苗接種）通常在離散時間點實施和調(diào)整。相比之下，微分方程可以動態(tài)更新不同時間段的參數(shù)，準確模擬政策的階段性效果[16]、[17]。

常微分方程（ODE）模型中的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)是局部算子。相比之下，分數(shù)階導(dǎo)數(shù)是非局部算子，其核心特征是能夠描述系統(tǒng)的記憶效應(yīng)或長程依賴性[18]、[19]、[20]。在傳染病建模中，這一特性使其能夠描述諸如潛伏期存在顯著異質(zhì)性（非指數(shù)分布）、感染性隨時間的復(fù)雜非指數(shù)衰減模式，或過去流行病經(jīng)驗對個體/群體行為決策的影響（記憶）[21]等情況。與傳統(tǒng)ODE模型假設(shè)的指數(shù)分布康復(fù)時間相比，分數(shù)階模型可以更靈活地擬合接近實際的固定康復(fù)時間或其他復(fù)雜分布。因此，研究人員提出分數(shù)階模型可能為具有記憶效應(yīng)的傳染病動態(tài)提供更合理的框架[22]、[23]。然而，分數(shù)階模型的數(shù)學研究更為復(fù)雜，其求解、參數(shù)估計和物理解釋都面臨挑戰(zhàn)，通常需要先進的數(shù)值方法。因此，只有在有足夠數(shù)據(jù)、明確證據(jù)或強有力的理論基礎(chǔ)表明系統(tǒng)表現(xiàn)出顯著的長記憶/非局部效應(yīng)時，才會考慮采用這類模型，以提高模型的真實性。

各種建模方法各有優(yōu)勢，適用于不同的場景。因此，在建模過程中必須仔細評估選擇最合適的建模方法。影響模型準確性的核心因素包括模型的科學性質(zhì)、結(jié)構(gòu)復(fù)雜性、未知參數(shù)的數(shù)量以及關(guān)鍵參數(shù)擬合算法的先進程度。傳染病建模的核心難點在于使用歷史數(shù)據(jù)準確估計未知參數(shù)，因為這些參數(shù)對于揭示疾病的生物學特征、預(yù)測疫情趨勢和評估控制措施至關(guān)重要。因此，參數(shù)擬合算法的質(zhì)量直接決定了模型預(yù)測結(jié)果的可靠性和實際價值。

有許多方法可用于估計傳染病模型中的參數(shù)。最小二乘法通過最小化觀測數(shù)據(jù)與模型預(yù)測之間的殘差來擬合參數(shù)[24]。然而，它對異常值和噪聲敏感，且無法有效處理模型不可識別性問題。貝葉斯推斷和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也是常用的方法[25]、[26]、[27]。然而，基于標準馬爾可夫蒙特卡洛（MCMC）的貝葉斯推斷在存在不可識別性時往往難以收斂到目標后驗分布，可能產(chǎn)生置信區(qū)間不可靠的參數(shù)估計。近年來，基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（PINNs）及其擴展形式——分數(shù)階物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（fPINNs）[28]和歐拉物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Euler-PINNs）[29]提供了一種新方法。這些方法的核心思想是將描述物理定律的（常微分/分數(shù)階微分）方程作為約束納入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練過程中。訓練好的網(wǎng)絡(luò)不僅需要擬合觀測數(shù)據(jù)，還需要滿足控制方程。這使得它們能夠同時解決數(shù)據(jù)匹配的正向問題和從數(shù)據(jù)中學習方程參數(shù)的逆問題，特別是在方程中沒有顯式函數(shù)形式的情況下，特別適用于學習隨時間變化的參數(shù)。這些深度學習方法已成功應(yīng)用于疾病傳播動態(tài)模型的參數(shù)估計[30]、[31]、[32]、[33]、[34]。還有許多針對其他方面的PINNs變體[35]、[36]。

接下來，以登革熱作為研究對象，分別構(gòu)建常微分方程模型、分數(shù)階模型和離散模型。然后，從穩(wěn)定性和數(shù)值分析的角度分析它們之間的相似性和差異性，揭示各種模型在描述登革熱傳播過程中的異同。本文的結(jié)構(gòu)包括登革熱的背景信息，使用相同的問題表述、建模框架和數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。分別構(gòu)建了常微分方程模型、分數(shù)階模型和離散模型，并從理論角度比較了這三種模型之間的相似性和差異性。第三部分使用了2012年至2017年新加坡每周確診的登革熱病例數(shù)據(jù)，重點研究了PINNs、fPINNs和Euler-PINNs逆問題的權(quán)重優(yōu)化策略。首先使用傳統(tǒng)的權(quán)重優(yōu)化策略，然后應(yīng)用本文提出的新變量依賴權(quán)重優(yōu)化策略來擬合這三種模型的數(shù)據(jù)，估計與疾病傳播相關(guān)的重要未知參數(shù)，并比較和分析兩種策略下的模型參數(shù)擬合結(jié)果。其次，變量依賴權(quán)重優(yōu)化策略下的參數(shù)預(yù)測和敏感性分析獲得了更好的擬合結(jié)果。最后，從數(shù)值模擬（參數(shù)擬合、預(yù)測和敏感性）的角度分析了這三種模型之間的相似性和差異性。第四部分是對整篇論文的總結(jié)和討論。