憶阻器被視為繼電阻器、電容器和電感器之后的第四種基本電路元件[1]、[2]、[3]、[4]。它們具有低功耗、可調電阻、非易失性存儲、納米級尺寸以及與標準CMOS制造工藝兼容等優點。憶阻器超越了新型電路元件的角色，其內在的非線性和非易失性存儲為模擬復雜動態系統和突觸可塑性提供了物理基礎，因此成為神經形態計算和非線性系統研究中的關鍵組成部分。Chua通過將憶阻器與局部活性理論相結合，進一步擴展了憶阻器的概念，引入了局部活性憶阻器[5]。這類器件在特定的工作電壓或電流范圍內可以表現出負微分電阻或負微分電導，從而能夠放大微弱輸入信號。這種能力被認為是產生復雜動態行為的基本物理機制[6]。局部活性對于憶阻器在模擬生物突觸中的應用至關重要。眾所周知，突觸是局部被動非易失性憶阻器[7]、[8]。這類憶阻器是模擬記憶和學習的基本構建模塊。然而，與局部被動憶阻器相比，LAM能夠更真實地模擬生物突觸，因為它們在信號處理、動態特性和能量模式方面更接近生物突觸的活躍調節機制。憶阻器的局部活性使它們能夠在特定偏置點下放大信號，從而不僅能夠存儲突觸權重信息，還能夠積極參與信號處理。這種局部放大信號的能力使得憶阻器不僅能夠存儲突觸權重，還能夠積極參與信號傳輸和處理。因此，局部活性為模擬關鍵的神經生物學機制（如興奮與抑制之間的平衡以及閾值驅動的放電行為）提供了必要的物理基礎，并支持了復雜形式的突觸可塑性和多樣化神經動態的出現[9]、[10]。

自突觸是大腦中獨特且普遍存在的微尺度連接結構，指的是神經元軸突末端與其自身樹突或胞體之間的突觸連接。它們廣泛分布于大腦的多個區域，包括皮層、海馬體和小腦。作為基本的局部反饋回路，自突觸在調節神經元興奮性、同步性和放電模式方面起著關鍵作用，從而為神經元自我調節和動態穩定性提供了內源性機制。這種內在的反饋機制表明，要深入剖析復雜的大腦功能（如信息處理和動態穩定性），必須將能夠模擬這種自我調節效應的組件或連接納入神經元模型中。近幾十年來，已經建立了許多數學模型來模擬生物神經元的電生理行為，包括Wilson模型、Hodgkin Huxley模型、Izhikevich模型和Hindmarsh–Rose（HR）模型，每個模型都為探索神經元動態提供了理論框架[11]。其中，HR神經元模型因其相對簡潔的表述和再現豐富神經元放電行為的能力而得到廣泛接受，為進一步發展包含自突觸反饋機制的擴展模型奠定了基礎。基于這些工作，研究人員進一步引入了局部活性憶阻器作為關鍵組件，將其嵌入神經元模型或網絡連接中以模擬復雜的突觸調節機制，包括自突觸連接。Mou等人開發了一種新型局部活性憶阻器模型，并將其應用于FitzHugh Nagumo（FHN）和HR神經元，從而構建了一個簡單的神經元網絡來模擬神經元間的連接以及信息從FHN神經元到HR神經元的方向傳輸[12]。Bao等人設計了一個簡單的無自連接離散HNN，其中包含兩個具有正弦和雙曲正切激活函數的異構神經元。通過理論和數值分析，他們證明了這個最小模型可以生成具有高隨機性的多重超混沌吸引子[13]。Wan等人在復雜的電磁環境中建立了一個憶阻式Hopfield神經網絡模型，通過引入一種新型局部活性憶阻器作為突觸自突觸連接，其中電磁輻射效應通過二次非線性憶阻器來描述[14]。Lai等人提出了一種通過縮放憶阻式電磁輻射組件和神經元連接來增強神經網絡動態的通用方法，從而生成具有豐富動態行為的多樣化網絡[15]。

多滾態吸引子表現出對初始條件高度敏感的混沌特性，在研究復雜的神經元電活動方面具有顯著價值。這些吸引子對應于相空間中的多種演化軌跡，可以解釋神經元在不同刺激強度下的多模態放電特征，如周期性振蕩、爆發模式和混合放電模式——從而為實際神經元觀察到的行為提供了更符合生理學的動態表示。此外，它們更復雜的動態行為和不可預測性[16]使它們特別適合于圖像加密等相關領域[17]、[18]。基于上述優勢，能夠生成多滾態吸引子的憶阻式神經系統引起了研究人員的廣泛關注。Wang等人提出了一種具有可編程憶阻式自連接突觸的Hopfield神經網絡家族，能夠生成多種多滾態混沌吸引子，包括單向、網格和空間模式[19]。Gonzalez等人引入了一種基于多滾態混沌憶阻式Hopfield神經網絡的多PRNG現場可編程門陣列實現[20]。Huang等人提出了一種基于憶阻器的Hopfield神經網絡，通過多級邏輯脈沖調制生成和控制網格多滾態吸引子[21]。Yu等人開發了一種基于非多項式憶阻器的Hopfield神經網絡，將多滾態生成與多項式項解耦。該框架支持由Lyapunov穩定性保證和自適應同步支持的靈活吸引子控制[22]。

目前，多滾態神經網絡或神經元通常是通過引入具有復雜多項式或嵌套復合函數的憶阻器作為突觸元件來構建的[23]、[24]、[25]。然而，隨著滾態數量的增加，這些函數變得越來越復雜，導致數學公式更加復雜，實現成本也更高。這種復雜性導致模擬電路結構笨重，數字離散化也更加困難。因此，開發更簡單、更高效的方法來在憶阻式神經系統和憶阻式神經元系統中生成多滾態吸引子仍然是一個有價值且具有挑戰性的研究方向。在這方面，二階憶阻器提供了一種有前途的替代方案，可以以降低的結構復雜性實現復雜的動態行為。由于引入了額外的內部狀態變量，它們能夠表現出更豐富的非線性響應和更復雜的記憶特性，顯著拓寬了可獲得的動態狀態的多樣性[26]、[27]、[28]。這種增強的動態特性使得通過相對簡單的系統架構出現多滾態混沌吸引子成為可能，從而減少了過于復雜的數學公式的需求，并使得憶阻式神經網絡在模擬和數字領域的實現更加高效。

為了解決上述問題，本文提出了一種基于二階憶阻器的自突觸HR神經元模型，該模型能夠生成多滾態混沌吸引子。值得注意的是，模型產生的滾態數量直接由其內部參數決定，而不依賴于復雜的多項式表達式或多個嵌套函數。本工作的主要貢獻和創新總結如下。

(1) 提出了一種具有雙狀態耦合的二階憶阻器模型，其中正弦和非線性共同控制內部動態。此外，一系列分析證明了其非易失性和局部活性特性。

(2) 通過將二階憶阻器與HR神經元模型耦合，建立了一個SOMAHR模型。分析了不同條件下的SOMAHR模型的放電模式，并對其動態特性進行了徹底研究。此外，還設計了一個電路來驗證SOMAHR模型的可行性。

(3) 當受到外部刺激時，SOMAHR模型產生了一個擴展系統，稱為SOMAHR-S，該系統表現出獨特的混沌放電模式。這種模式在相空間中表現為多滾態吸引子，其滾態數量由外部刺激的頻率決定。

本文的結構如下。第2節描述了二階憶阻器模型。第3節研究了SOMAHR的動態行為和放電模式。第4節介紹了能夠生成多滾態吸引子的SOMAHR-S。第5節總結了整個工作。

在本節中，我們構建了一個稱為SOMAHR的憶阻式自突觸神經元模型。自突觸作為生物神經系統中經過驗證的微尺度反饋結構，為模型提供了最小的閉環調節路徑。局部活性憶阻器抽象了生物突觸和樹突中廣泛存在的活躍信號處理能力。兩者的結合旨在賦予神經元模型一種內生的、非平衡的動態生成機制

為了進一步研究SOMAHR的放電模式，在SOMAHR中引入了一個額外的狀態依賴性刺激項$stim$。引入刺激項$stim$是為了模擬一個基本的生物過程：活動依賴的神經調節。在神經系統中，神經調節劑的釋放（例如多巴胺或乙酰膽堿）通常由神經元活動本身調節，從而產生內在反饋，動態調整突觸強度和興奮性。

在這項工作中，我們提出了一種新型的局部活性二階憶阻器，其基本電學特性通過小信號分析和局部活性理論框架的綜合應用得到了闡明。隨后，將SOLAM與HR神經元作為自突觸耦合，得到了SOMAHR模型。對該模型的數值分析揭示了豐富的動態行為和多種放電模式。電路實驗驗證了其物理

劉一金：撰寫——原始草稿，可視化，方法論，研究，形式分析。賴強：撰寫——原始草稿，驗證，方法論，研究，概念化。秦明宏：撰寫——審閱與編輯，可視化，形式分析。

作者聲明他們沒有已知的競爭性財務利益或個人關系可能影響本文報告的工作。

本工作得到了國家自然科學基金（項目編號：62366014）和江西省自然科學基金（項目編號：20252BAC250013、20232BAB202008）的支持。