現實世界材料固有的不均勻性導致折射率分布不均，這影響了光束在其中的傳播方式。因此，理解光束在非均勻介質中的傳播變化在理論上具有重要意義，并且具有實際應用價值。梯度折射率（GRIN）介質是一種典型的具有不均勻折射率分布的介質[1]，[2]。早在1980年，研究人員就已經開發出了具有梯度折射率分布的光學材料[3]。GRIN介質的折射率呈二次依賴關系，并具有連續的空間分布[4]，具有梯度折射率的透明平行板可以有效地聚焦準直光束[5]。GRIN介質具有重量輕、體積小和結構扁平等優點，這引發了越來越多的研究興趣[6]。例如，Greegor等人利用各向同性艾康方程設計了GRIN介質，實現了梯度折射率，并探索了其在聚焦和成像中的應用[7]。Zhao等人進一步通過解析和數值方法研究了艾里-高斯渦旋光束在GRIN介質中的傳播，采用了傳遞矩陣方法[8]。此外，Gómez-Correa等人提出了一種基于費馬光線不變量的光線追蹤方法用于非標準GRIN介質[9]，并對GRIN介質中的光線追蹤進行了深入研究，提出了其他幾種光線追蹤方法[10]。

除了GRIN介質外，左旋材料（LHMs）也作為傳輸介質受到廣泛關注。1968年，Veselago提出了LHMs的概念，其特征是具有負介電常數和負磁導率[11]。然而，這一想法最初并未受到重視，因為同時具有這兩種特性的材料并不存在。當Pendry及其同事提出金屬線陣列可以產生負介電常數[12]，而分裂環諧振器可以產生負磁導率[13]時，人們對LHMs的興趣逐漸增加。直到2001年，Shelby等人使用銅成功制備出了在微波頻率下同時具有這兩種特性的材料[14]。與傳統材料不同，LHMs表現出獨特的特性，如反向多普勒效應、異常切倫科夫輻射和負輻射壓力，這引發了大量的研究興趣[11]，[15]。Zhou等人研究了LHM板內外的場分布，確定了高斯光束聚焦和相位補償的條件[16]。Peng等人研究了從右旋材料到左旋材料的旋轉橢圓高斯光束的傳播特性[17]。同樣，Huang等人研究了右旋和左旋材料中右旋圓偏振艾里-高斯光束的演變[18]。

LHMs和GRIN介質的獨特性質為光束的傳輸和控制提供了寶貴的機會。盡管單介質中的光束傳播已經得到了廣泛研究，但由自由空間、LHMs和GRIN介質組成的三區域配置中的光束傳播特性仍缺乏系統的研究。特別是當光束同時在自由空間中發生衍射、在LHMs中發生負折射調制，并由GRIN介質引起周期性演變時，其空間結構和相位演變變得更加復雜，這種由多種介質引起的傳播行為研究較少。對于具有復雜場分布的光束，它們的空間結構如何與衍射、負折射調制和周期性演變過程相互作用仍需進一步研究。基于這些考慮，本文推導出一組解析表達式，系統地描述了三區域配置中關鍵物理量（如光束寬度和相位波前曲率）的演變，并進一步分析了如何調整控制參數以實現光束操控。在這種三區域配置中，自由空間允許光束發生衍射，LHMs通過其負折射率調制相位和光束寬度，而GRIN介質進一步引起光束的周期性演變。由于三區域配置的ABCD矩陣是由各個介質的傳輸矩陣的有序乘積形成的，不同介質的排列會導致三區域配置的ABCD矩陣不同，從而在光束演變過程中產生顯著差異。

這種三區域配置結合了自由空間中的衍射、LHMs引起的調制以及GRIN介質中的周期性演變，使得在單一傳播過程中能夠同時控制相位和空間分布，為復雜光束成形和模式控制提供了更加靈活和可控的方法。在光通信、光束成形和模式控制等應用中，經常需要在有限的傳播距離內同時調節光束衍射、空間分布和周期性演變。然而，大多數現有方法主要依賴于透鏡或單一功能介質，這些介質通常設計用于控制光束傳播的單一特性。由自由空間、LHMs和GRIN介質組成的三區域配置可以在單一傳播過程中結合衍射效應、負折射調制和GRIN介質引起的周期性演變，為解決這一挑戰提供了新的方法，并在實際應用中具有潛在的價值。此外，橫向交叉調制可以調節光束的橫向光強度，這對于光束控制應用可能具有重要意義。因此，本文旨在探討三區域配置中橫向交叉調制余弦高斯（TCMCG）光束的演變和調控[19]。本文的結構如下：第2節介紹光束傳輸的介質模型，并推導出光束傳輸、光束寬度和相位波前曲率的解析表達式。第3節研究了不同介質中光束的演變，重點關注光束寬度和相位波前曲率的變化率和極值。最后，第4節總結了研究結果。

本節探討了由自由空間、LHMs和GRIN介質組成的三區域配置中TCMCG光束的傳輸和控制。首先討論特殊情況（$n_L=?1$），其中LHMs的折射率與自由空間中的相反，TCMCG光束表現出許多獨特性質[如圖2所示]。在自由空間中，光束隨著傳播距離的增加而逐漸擴展。相反，在LHMs中，光束隨著距離的增加而壓縮，導致

本文研究了由自由空間、LHMs和GRIN介質組成的三區域配置中TCMCG光束的傳播和演變。推導出了三種介質中光束傳輸、光束寬度及其變化率、光束寬度極值、相位波前曲率及其變化率以及相位波前曲率極值的解析表達式。當LHMs的折射率與自由空間中的相反時，自由空間和LHMs中的傳輸過程

孫卓月：撰寫 – 審稿與編輯，撰寫 – 原稿，軟件，方法論，研究，數據管理。李杰：撰寫 – 審稿與編輯，撰寫 – 原稿，方法論，研究。戴志平：監督，研究，資金獲取。鄧鐸：監督，研究。龐照光：監督，研究。楊振軍：撰寫 – 審稿與編輯，撰寫 – 原稿，軟件，研究。

作者聲明他們沒有已知的可能會影響本文所述工作的財務利益或個人關系。

本研究得到了國家自然科學基金（項目編號：12304320）、河北省教育廳的科學研究項目（項目編號：BJ2026192、湖南省自然科學基金（項目編號：2024JJ5056）以及河北師范大學科學基金（項目編號：L2023B07）的資助。