《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：High-order structure-preserving implicit-explicit Runge–Kutta methods with Lagrange multiplier approach for conservative nonlinear evolution equations
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本研究綜述了一類新型結構保持數值方法，其結合了隱式-顯式龍格-庫塔（IERK）方法與拉格朗日乘子（LM）框架，旨在為非線性演化方程構建可保持多個高階不變量（如能量、質量）的高階、線性隱式數值格式。該方法克服了經典投影法無法保持線性不變量等局限，在實現任意高階時間精度的同時，保證了計算效率，在非線性光學、量子力學及水波理論等領域具有重要應用潛力。文中通過理論分析與大量數值算例驗證了方法的有效性和長期模擬的穩定性。
Highlight（研究亮點）
- •
一旦拉格朗日乘子被確定，得到的格式保持線性隱式特性。
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所提出的框架能夠保持多個原始的高階離散非線性不變量。
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所提出的框架可以實現任意高階的時間精度。
高精度多不變量保持格式
在本節中，我們將基于隱式-顯式龍格-庫塔（IERK）方法，為等價系統（2.11）開發一類能夠保持多個不變量的高階隱式-顯式格式。
我們首先回顧s級q階IERK（IERKq）方法。令 {aij, bi, a?ij, b?i, ci} (i, j ∈ Z1s) 為實數，并定義 A = (aij)s×s, b = (b1, …, bs)T, A? = (a?ij)s×s, b? = (b?1, …, b?s)T, c = (c1, …, cs)T。則IERK方法可以使用以下Butcher表來表示：
=
c1| a11
c2| a21a22
? | ? ? ?
cs| as1as2? ass
| b1b2? bs
,
=
c1| 0
c2| a?210
? | ? ? ?
cs| a?s1a?s2? a?ss
| b?1b?2? b?s
主要結果
LM-IERK格式（3.2）的適定性取決于乘子λk的存在唯一性，這源于IERK方法的線性隱式結構。由于當 ?k+1= uk時 λk= 0，后續分析僅關注非平凡情況 ?k+1≠ uk。
定理 2 (λk+1的局部存在唯一性) 對于LM-IERK格式（3.2），假設IERK方法 {A, b, A?, b?} 是q階的（q ≥ 1）且 Ii[uk] = Ii[φ], i ∈ Z1p, k ∈ Z1n。如果 (1/τ)B(0,0) 是非奇異的，則存在一個常數 τ0> 0，使得對于 0 < τ < τ0，代數系統... [定理內容因文檔截斷而未完整呈現]。
數值結果
本節中，我們將通過幾個數值算例來展示所提出方法的有效性。
結論與展望
本文為保守非線性演化方程的數值求解開發了一類新穎的IERK方法。所提出的框架融合了LM方法，以確保多個離散不變量的保持。詳細的適定性分析確立了相關拉格朗日乘子的存在性和唯一性，并證實了所得格式能達到高階時間精度。大量的數值實驗進一步證明了該方法在... [文檔截斷，后續內容未完整提供]。
