在傳輸方程和守恒律的計算建模中，有限元方法（FEM）因其處理復雜幾何形狀和邊界條件的靈活性和準確性而被廣泛使用。然而，用于一階偏微分方程（如對流-擴散方程）的數值方法在對流占主導的情況下可能會受到顯著影響。這個問題出現在各種數值方法中，包括有限差分方法、有限體積技術、Galerkin有限元方法和無網格程序。特別是，標準FEM常常導致振蕩和虛假解，尤其是在存在尖銳梯度或不連續性的對流占主導問題中。
為了解決這些挑戰，已經開發了多種穩定化技術來提高近似的魯棒性和準確性。兩種常用的方法是Galerkin最小二乘（GLS）和流線迎風Petrov-Galerkin（SUPG）。GLS方法由[1]提出，通過加入最小二乘項和依賴于網格的參數來改進標準Galerkin方法，從而實現準最優L2范數誤差和最優圖形范數誤差。SUPG方法由[2]提出，通過增加與控制微分方程殘差成比例的項來修改權重函數，從而沿流動方向穩定解并減少振蕩。
還開發了其他穩定化技術來進一步提高數值解的質量。不連續Galerkin（DG）方法允許元素之間的不連續性，并在界面使用數值通量，適用于處理復雜的守恒律，并在網格適應方面具有靈活性[3]。子網格尺度模型（SGS）通過模擬未解決的尺度來增強FEM預測湍流流動的能力[4]。捕捉沖擊波的方法通過添加人工擴散或粘性來平滑不連續性附近的解，防止非物理振蕩[5]。通量校正傳輸（FCT）算法調整數值通量以保持守恒性質，同時避免高階方案中出現的過度擴散[6]。連續內部懲罰（CIP）方法通過懲罰網格界面上的梯度跳變來提高穩定性[7]。局部投影穩定（LPS）通過離散空間的雙尺度分解來處理已解決的尺度和波動[8]。最后，子網格粘性（SGV）方法針對梯度波動來提高精度[9]，[10]。
同時，一種有前景的近似技術稱為等幾何分析（IgA），它代表了一種現代的數值求解偏微分方程的方法。該技術由[11]引入，通過將其與計算機輔助設計（CAD）相結合來增強傳統的有限元分析。
IgA的一個關鍵優勢是它使用B樣條或非均勻有理B樣條（NURBS）來表示幾何形狀和近似未知解場。與傳統的有限元方法不同，后者通常依賴于在元素邊界上連續性有限的分段多項式基函數，B樣條提供了更高的平滑度。這種固有的規則性提高了數值模擬的準確性和效率，特別是在涉及復雜幾何形狀或需要高階連續性的問題中。
多項研究調查了將IgA與SUPG類型穩定化方法結合用于傳輸問題[12]，[13]。然而，一致觀察到，僅僅提高近似階數和平滑度并不能改善虛假振蕩的抑制。特別是Gibbs類型的振蕩，在高階有限元方法中很常見，即使使用了SUPG穩定化，隨著多項式度和連續性的增加，這種振蕩往往會加劇[14]。
更一般地說，數值研究表明，對于沒有尖銳層的情況，包括SUPG和GLS在內的經典穩定化離散化方法通常能夠令人滿意地處理對流或對流-擴散占主導的問題。然而，在存在尖銳邊界或內部層的情況下，它們的有效性顯著降低，此時經常會出現振蕩、過度模糊以及對穩定化（調整）參數的敏感性[15]。
因此，最近在IgA方面的研究集中在改進基于經典SUPG和GLS的穩定化策略上。一些方法改進了基于殘差的加權或修改了穩定化項，以克服經典SUPG在對流和對流-擴散-反應問題中的已知局限性。其他方法改變了樣條近似空間本身，例如使用指數或變階樣條，以更好地表示尖銳梯度并減少振蕩。
例如，[16]中提出的GSC方法通過加入與反應算子相關的額外殘差基梯度項來擴展SUPG類型的穩定化。這些方法減少了邊界層區域的超調和欠調，這對于高階Lagrange和B樣條離散化來說是已知的問題。盡管如此，像許多基于SUPG的技術一樣，它們仍然對穩定化參數的選擇敏感，需要仔細調整以平衡準確性和數值擴散。
類似地，基于指數或變階樣條空間的IgA方法已被證明可以顯著減少對流-擴散問題中的虛假振蕩[14]。然而，這種優勢是以修改樣條空間本身為代價的，引入了額外的問題依賴參數和非標準基函數，這限制了其通用性并使得集成到標準IgA框架中變得復雜。
在這項工作中，我們提出了一種受[10]中引入的子網格尺度方法啟發的IgA高階穩定化技術。該方法結合了B樣條的強大近似特性和用作氣泡函數的Bernstein多項式，以實現局部穩定。穩定化算子僅作用于氣泡空間，不涉及任何調整參數。擴展了[10]的理論框架，我們為任意階數的B樣條和Bernstein函數建立了收斂性結果（定理3）。
從實現的角度來看，所提出的方法非常簡單，因為它每個元素只需要添加一個高階Bernstein氣泡函數。這與許多現有的基于氣泡的方法[17]形成對比，后者每個元素需要添加個額外的氣泡函數，從而導致更大的離散系統和更高的計算成本。數值結果表明，所提出的方法對于對流占主導的問題具有魯棒性和效率，同時完全保留了高階等幾何離散化的優勢。
本文的結構如下。第2節介紹了符號、定義，陳述了問題，并提供了一些將在文中使用的初步結果。第3節我們開發了一種合適的穩定化技術，該技術涉及用Bernstein函數完成B樣條空間作為氣泡函數。然后我們提出了本文的主要理論結果，即參數域中穩定系統的收斂性結果。第4節提供了參數域和物理域中靜止和時變問題的幾個數值示例。第5節總結了本文。
