《Computers & Mathematics with Applications》：Stability and error estimate of the second-order Crank–Nicolson leap-frog scheme for the phase field crystal model
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本文提出并嚴謹分析了一種針對相場晶體(PFC)模型的二階Crank–Nicolson跳躍(CNLF)全離散數值格式。該工作證明了其滿足質量守恒、無條件能量穩定（無條件能量穩定）和線性可解性，獲得了時間上的二階收斂精度，并進行了詳細的誤差估計。數值實驗驗證了其在長時間相粗化動力學模擬中的高效性與準確性。
Section snippets
Numerical schemes
為便于后續分析，我們首先明確本文中使用的符號約定。Lebesgue空間Lp(Ω)與標準的Lp-范數相關聯，定義為∥u∥Lp:= (∫Ω|u(x)|pdx)1/p， 對于 1 ≤ p < ∞。對于p = ∞的情況，我們使用本質確界范數，并定義空間L∞(Ω)及相應的范數：∥v∥L∞:= ess supx∈Ω|v(x)|。特殊情況L2(Ω)與內積(·, ·)和范數‖·‖相關聯。對于Sobolev空間，我們用……
Error analysis
本節在精確解具有溫和正則性假設的前提下，推導了全離散格式2.2的嚴格誤差界。
定義Hper2(Ω)-正交投影算子PN: Hper2(Ω) → VN，使得對于所有v ∈ Hper2(Ω)，
((Δ+β)(v - PNv), (Δ+β)φN)Ω= 0 ? φN∈ VN，
且滿足∫Ω(v - PNv) dx = 0。
關于這個投影算子的誤差估計可以從定義域投影算子的標準結果中獲得（見[27]），并可利用p-方法的估計技術得到（參見[28]、[29]）。
Lemma 5
對于所有v ∈ Hpers(Ω) 滿足l ≤……
Numerical results
在本節中，我們使用穩定化后的格式（Scheme 2.2）對PFC模型進行數值模擬，展示了所提出的Crank–Nicolson跳躍(CNLF)方法的精度、效率與能量穩定性。空間離散化采用Fourier譜方法，所有計算均通過快速傅里葉變換(FFT)加速。模擬在一個受周期性邊界條件約束的方形區域[0, L]2上進行。在所有數值模擬中……
Conclusion
在這項工作中，我們為相場晶體(PFC)模型開發了一種高效、全離散的數值格式，實現了時間上的二階精度和空間上的譜精度。所提出的方法將二階Crank–Nicolson跳躍時間離散與Fourier偽譜空間近似相結合，確保了高精度和計算效率。我們的數值格式保證了三個基本理論性質：質量守恒、無條件能量……
