《Computers & Mathematics with Applications》：A simple-to-implement nonlinear preconditioning of Newton’s method for solving the steady Navier-Stokes equations
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本篇研究提出了一種新穎的AAPicard-Newton方法，通過在牛頓法(NSE)的每次迭代中引入Anderson加速的Picard步，有效提升了求解定常Navier-Stokes方程（NSE）的效率和魯棒性。該方法在Anderson加速優(yōu)化步中采用固定松弛參數(shù)βk+1≡1，被證明具有全局穩(wěn)定性、二次收斂性，并在高雷諾數(shù)(Re)下實現(xiàn)了更快的收斂速度。數(shù)值實驗結(jié)果與理論分析高度吻合。
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
我們記NSE的自然函數(shù)空間為：
Q := {v ∈ L2(Ω) : ∫Ωv dx = 0},
X := {v ∈ H1(Ω) : v = 0 on ?Ω},
V := {v ∈ X : (?·v, q) = 0 ?q ∈ Q},
其中Ω是一個開連通集。L2內(nèi)積和范數(shù)分別記為(·,·)和‖·‖。記號?·,·?定義為?f, v? = ∫Ωfv dx，用于表示H-1和X之間的對偶關(guān)系，‖·‖-1表示H-1上的范數(shù)。
我們定義非線性項：對所有v, w, z ∈ X，
b*(v, w, z) = (v·?w, z) + ?((?·v) w, z)。
AAPicard-Newton方法分析
Pollock等人2025年的工作表明，Picard-Newton方法具有二次收斂性（當(dāng)σ < 1時全局收斂，當(dāng)σ > 0時局部收斂）。在以下小節(jié)中，我們將研究深度m=1的Anderson加速（AA）應(yīng)用于此方法的收斂行為，并在后續(xù)小節(jié)中討論一般深度m=2,3,...的情況。為了使工作清晰，我們將自己限制在σ < 1的條件下，但下文呈現(xiàn)的所有結(jié)果都可以通過一些額外工作局部擴(kuò)展到σ > 0。
AAPicard-Newton的數(shù)值測試
在本節(jié)中，我們進(jìn)行了三項數(shù)值測試——二維頂蓋驅(qū)動腔流、三維頂蓋驅(qū)動腔流以及繞圓柱的通道流，以觀察Anderson加速的Picard方法如何影響牛頓迭代的收斂性。
結(jié)論與未來方向
我們提出了一種易于實現(xiàn)的牛頓法非線性預(yù)條件技術(shù)，旨在求解定常Navier-Stokes方程（NSE）。AAPicard-Newton方法在牛頓法的每次迭代中加入了Anderson加速的Picard步。當(dāng)Anderson松弛參數(shù)βk+1≡1時，此方法保持了二次收斂性，同時確保了全局穩(wěn)定性，并且當(dāng)雷諾數(shù)(Re)足夠大時，降低了收斂速率。盡管它需要求解三個線性系統(tǒng)（一個Picard...）
