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具有指數衰減相關性的動力系統的定量復發性質以及強動力Borel–Cantelli引理
《Ergodic Theory and Dynamical Systems》：Quantitative recurrence properties and strong dynamical Borel–Cantelli lemmas for dynamical systems with exponential decay of correlations
【字體： 大 中 小 】 時間：2026年03月03日 來源：Ergodic Theory and Dynamical Systems
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測度保持動力系統下，當H?lder連續函數的相關系數指數衰減時，通過強Borel-Cantelli引理證明了對于中心在原點、邊平行坐標軸且直徑趨于零的超矩形序列{R_n}，其平移{x}與軌道的交集概率趨近于1。該結果適用于β變換、β-變換及擴大toral endomorphisms等系統。
設 
$ ([0,1]^d,T,\mu ) $ 是一個保持測度的動力系統，對于H?lder連續函數，其相關性呈指數衰減。假設 
$ \mu $ 是絕對連續的，并且其密度函數 
$ h\in L^q(\mathcal L^d) $ 對于某個 
$ q>1 $ 成立，其中 
$ \mathcal L^d $ 是 
$ d $ 維的Lebesgue測度。在適當的動力系統條件下，我們得到了一個關于回歸的強動力Borel–Cantelli引理：對于任何以原點為中心、邊平行于坐標軸且直徑隨 
$0$ 趨近的超矩形序列 
$ \{R_n\} $（當 
$n\to \infty $ 時），我們有 
，其中 
$ \mathbf {x}\in [0,1]^d $ 且 
$ R_n+\mathbf {x} $ 表示 
$ R_n $ 的平移。該結果適用于高斯映射、
$\beta $ 變換以及膨脹的環面自同態。
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