描述力學行為的偏微分方程（PDEs）對于描述和再現物理場至關重要[[1], [2], [3]]。由于初始條件或邊界條件的復雜性，直接獲得PDEs的解析解非常困難[4]。盡管數值方法已被廣泛用于近似求解PDEs，例如有限元方法（FEM）[5,6]和邊界元方法（BEM）[7,8]，但它們無法應對噪聲邊界問題和逆問題[9]。為了全面分析和塑造物理場，開發新的智能方法來求解PDEs是必要的。
機器學習是一種強大的人工智能（AI）算法，有望作為基于先驗知識和觀測數據求解PDEs的新方向[[9], [10], [11]]。物理信息神經網絡（PINN）代表了這一新興理念，通過將微分運算與物理信息和收集的數據相結合來學習PDEs[9,[12], [13], [14]]。利用捕獲的物理場控制規律，PINN可以可靠地解決各種領域中的正向和逆向問題，如力學[[15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25], [26]]、系統生物學[[27], [28], [29]]和材料科學[[30], [31], [32], [33]]。
盡管取得了顯著成就，但在處理某些挑戰時，PINN仍然存在精度低和成本高的問題，例如高頻、多尺度、應力集中、多物理場耦合和噪聲干擾問題[9,[34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44]]。傳統的PINN需要優化PDE殘差來學習物理場，這導致在使用大量配置點擬合變化劇烈的函數時需要大量的反向傳播梯度和高階微分運算[45,46]。大量的梯度和微分運算不僅會導致計算成本急劇增加，還可能導致在求解具有高頻或多尺度行為的復雜PDEs時收斂不穩定[36,38]。為了優化采樣數量并提高模式收斂性，開發了一些自適應配置點[47]和加權方法[36,[48], [49], [50], [51]]。考慮到基于殘差的PINN公式的局限性，基于變分原理的深度能量方法（DEM）[1,52,53]作為一種解決方案出現，它允許使用更少的梯度和更低階的微分運算。為了追求更強的逼近能力，提出了混合DEM[54]和其他DEM擴展[[55], [56], [57]]，這些方法使得變化劇烈的物理場更容易擬合。
合理的架構也可以增強PINN逼近復雜函數的能力。一些學者專注于專門的網絡設計來捕捉場中的強烈變化，包括但不限于具有傅里葉特征的PINN（FF-PINN）[[58], [59], [60], [61], [62]]、物理信息徑向基網絡（PIRBN）[[63], [64], [65]]、基于卷積神經網絡的PINN[[66], [67], [68]]、有限基PINN（FBPINN）[69,70]和Kolmogorov-Arnold信息神經網絡（KINN）[[71], [72], [73], [74]]。雖然這些算法在高頻、多尺度或應力集中問題上取得了有希望的結果[63,66,68,70,71]，但一些專門的結構涉及復雜的運算過程，限制了它們的效率。傳統離散化方法的智慧為PINN的構建提供了新的見解，從而產生了幾種適用于變化劇烈函數的有希望的模型[10,46,68,[75], [76], [77], [78], [79]]，例如物理編碼有限元網絡（PEFEN）[75,79]和基于Galerkin離散化的可微分有限元方法（DFEM）[76]。在尋求更強大算法的過程中，考慮了參數化PDE的算子學習[[80], [81], [82], [83]]，例如深度算子網絡（DeepONet）[80]和傅里葉神經算子（FNO）[81]，并將其與PINN結合使用，包括基于殘差和基于能量的版本[2,3,84,85]。結合算子學習和離散化方法，基于能量的模型[3]可以實現更好的穩定性和學習能力，解決正向發散和逆向崩潰的訓練失敗模式。盡管物理驅動的機器學習已經得到了改進，但模擬耦合多物理場系統的有效方法仍然不足[9,[86], [87], [88], [89]]。此外，實際噪聲干擾了PINN使用觀測數據來解決正向和逆問題[68,78,90,91]。為了促進AI在PDEs中的應用，需要構建一種新的先驗網絡，以滿足精度、效率、魯棒性和通用性的要求，以便有效處理高頻、多尺度、應力集中、多物理場耦合和噪聲干擾任務。
在這項研究中，我們提出了一種基于時空場輸入和物理場輸出的物理場神經網絡（PFNN），在求解PDE相關問題時實現了效率和精度的數量級提升。改進的輸入層從所有時空坐標中獲取物理信息進行函數映射，增強的輸出層采用了超寬架構，使得捕捉復雜模式變得更加容易。具有超寬架構的PFNN與使用寬網格的離散化增強型PINN[3,68,75,79]有相似之處，其中通過特定神經元表征每個物理量可以被視為從全局域到許多具有相對簡單模式的離散子域或元素的學習的自然轉變。這有助于更輕松、更詳細地學習每個點的變化。應用數值差分策略來獲得高階物理場，考慮到網絡中鏈式規則微分產生的密集雅可比矩陣與PDE微分項的理論獨立性之間的不一致性。集成了一個坐標轉換模塊，將物理場遷移到不同的計算域上，使基于數值微分的PFNN能夠在不規則物理域上逼近PDEs。研究了PFNN在高頻、多尺度、應力集中、多物理場耦合和噪聲干擾挑戰下的性能，其中解決了亥姆霍茲方程、熱傳導方程、彈性平衡方程和熱電耦合方程。PFNN不僅有效地解決了亥姆霍茲方程和熱傳導方程中的高頻和多尺度挑戰，還可靠地解決了彈性平衡方程和熱電耦合方程中變化劇烈的應力、電場和溫度場。此外，PFNN在噪聲條件下對熱電耦合方程的參數識別表現出很強的抗干擾能力。與PINN、FF-PINN、DEM和KINN相比，PFNN在精度、效率和魯棒性方面表現出色，為科學機器學習提供了寶貴的參考。
本文的其余部分組織如下：第2節描述了PFNN，第3節提供了結果和討論，第4節總結了結論。
