連續纖維增強復合材料（CFRC）由于其出色的比強度、比剛度和高設計靈活性，在許多領域（包括高端設備）中已成為輕量化和性能提升的關鍵材料[1]，[2]。CFRC結構的機械性能從根本上取決于兩個緊密相關的因素，即拓撲布局和纖維路徑[3]，[4]，[5]。傳統的順序優化策略將拓撲布局和纖維路徑視為獨立變量。因此，迫切需要開發一種協同優化策略。
拓撲布局和纖維路徑的同時優化可以克服設計瓶頸。早期的同時優化方法主要依賴于帶有懲罰的固體各向同性材料框架（SIMP）[6]，[7]，[8]，[9]，[10]，通過引入纖維方向變量來實現拓撲和纖維的同時更新，例如對于帶有懲罰的固體各向異性材料[5]，[11]，[12]，[13]。然而，基于SIMP的方法存在固有的局限性。一方面，中間元素密度值使得難以獲得清晰的拓撲邊界[9]。另一方面，纖維優化結果僅僅是離散的向量場，這些不能直接用于生成可制造的連續路徑，而是需要復雜的后處理程序[14]，[15]，[16]，[17]。為了解決這個問題，后續研究提出了同時優化拓撲布局和纖維路徑的策略[18]，其中元素被離散地映射到基體或纖維材料上，通過纖維材料的聚集形成路徑。然而，這種方法難以確保路徑寬度的一致性，并且難以有效整合制造約束[19]。
在水平集拓撲優化[20]，[21]，[22]中，結構邊界由水平集函數的零等值輪廓隱式描述。一些研究人員[23]，[24]，[25]，[26]嘗試使用水平集函數的正等值輪廓來模擬纖維路徑，采用快速行進法（FMM）[27]生成均勻分布的等值輪廓簇，從而將連續纖維路徑嵌入拓撲優化中。然而，FMM生成的路徑通常具有局部尖角，導致應力集中，影響結構性能和可靠性[11]。另一種方法利用流函數理論[28]，[29]，[30]，其中等值輪廓自然描述了連續且平滑的纖維路徑。然而，早期的工作主要集中在路徑規劃上，沒有與拓撲優化深入結合。
在我們之前的研究中，我們提出了一種基于結合水平集函數和流函數的參數模型（在本研究中簡稱為L-S模型）[31]，[32]。L-S模型通過水平集函數精確控制拓撲邊界的演變，同時利用流函數等值輪廓定義平滑、連續的纖維路徑，避免了灰度問題和路徑不連續性。該框架已成功應用于CFRC結構的剛度優化、強度優化和制造約束集成，為高性能CFRC結構提供了有效的設計解決方案。
拓撲布局和纖維路徑的同時優化框架顯著提高了CFRC結構的剛度和強度，在規定的材料屬性下尋求最佳材料分布。然而，性能提升本質上受到組成材料固有特性的限制。為了克服這一點，當前的研究工作轉向了元結構的設計。這涉及理論上的周期性單元格設計。通過這種方式，元結構可以展現出非凡的性能，例如負泊松比[33]，[34]，超越了天然材料的能力。
然而，大多數現有的元結構設計依賴于單相[35]，[36]或多相均勻材料[37]，[38]，未能充分利用CFRC設計中的各向異性潛力。一些研究嘗試探索CFRC元結構（即元復合材料）。例如，陳等人[39]使用SIMP方法優化了拓撲，然后沿著馮·米塞斯應力軌跡對齊纖維路徑（圖1(a)），而李等人[40]使用水平集函數結合快速行進法在優化的元復合材料拓撲中生成纖維路徑（圖1(b)）。另外，其他研究人員通過人工組裝規則結構單元構建了元復合材料（圖1(c)-(d)）。
然而，這些方法本質上采用順序或基于規則的設計策略。因此，它們未能深入整合拓撲布局和纖維路徑，通常也無法納入制造約束。此外，當前元結構設計中等效屬性的調整主要是通過定性調整權重或結構參數來實現的[37]，[40]，[41]，[42]。這種方法不足以滿足特定性能目標（如預定義的負泊松比）所需的精確、定量調整。
存在兩個挑戰。首先，將先前建立的并發優化框架從宏觀結構擴展到元結構意味著設計目標從宏觀響應（如合規性）轉變為直接優化等效彈性張量。這涉及更復雜的計算過程和敏感性分析復雜性的顯著增加。第二個挑戰涉及復雜功能特性的調整，例如負泊松比。傳統方法通常通過優化等效彈性張量的特定組件間接引入這些效應，例如，這種方法不夠精確。相比之下，直接將泊松比作為優化目標引入了強烈的非線性，導致數值不穩定和收斂困難。因此，開發一種能夠穩定且準確地調整元結構等效屬性的新方法對于推進元結構的定制至關重要。
為了解決兩個關鍵現有挑戰，即元復合材料的并發優化和定制設計，本研究基于L-S模型擴展了一個并發優化框架，用于設計具有定制和特定屬性的功能性微結構。首先，通過結合L-S模型和漸近均質化，開發了一個具有特定敏感性公式和分析的統一框架，以同時優化元復合材料的拓撲布局和纖維路徑，從而實現具有獨特最大化彈性屬性和負泊松比效應的元復合材料的有效設計。此外，提出了一種針對等效彈性張量組分的最小二乘優化策略，以實現特定機械屬性和泊松比的定制設計，這在現有研究中仍然是具有挑戰性的。
