拓?fù)鋬?yōu)化（TO）是當(dāng)今工程領(lǐng)域數(shù)字化設(shè)計(jì)革命的核心技術(shù)，其中對高性能、輕量化和可持續(xù)性的要求日益增加。因此，自從30多年前提出TO概念以來[1]，它吸引了大量的研究關(guān)注。常用的TO方法包括具有懲罰項(xiàng)的固體各向同性材料（SIMP）[2]、材料屬性的合理近似（RAMP）[3]、水平集方法[4]、[5]、雙向進(jìn)化結(jié)構(gòu)優(yōu)化（BESO）[6]等。
然而，在實(shí)際工程問題中，結(jié)構(gòu)通常會受到多個(gè)物理場的作用。例如，在設(shè)計(jì)航天器的熱防護(hù)層時(shí)，需要同時(shí)考慮再入過程中的空氣動力加熱和結(jié)構(gòu)變形。針對這種復(fù)雜的物理場耦合需求，Rodrigues和Fernandes[7]提出了基于均質(zhì)化理論的熱彈性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。隨后，研究人員引入了許多策略來有效處理熱彈性TO問題，這些方法包括基于p-范數(shù)函數(shù)[8]、[9]、[10]、移動可變形空洞（MMV）[11]、元素差分法（EDM）[12]等。此外，還分析了影響熱彈性TO優(yōu)化結(jié)果的各種因素[13]。在多尺度結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，Zheng等人[14]專注于具有高隔熱性能的層次結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，提出了宏觀、介觀和微觀三個(gè)尺度上的三層設(shè)計(jì)策略。Torisaki等人[15]使用Kreisselmeier–Steinhauser（K-S）函數(shù)來最小化多尺度結(jié)構(gòu)中由微觀結(jié)構(gòu)引起的最大熱應(yīng)力。Guo等人[16]提出了一種新的多尺度并行TO方法，用于設(shè)計(jì)依賴于溫度場的結(jié)構(gòu)，克服了早期研究僅限于均勻溫度分布的局限性，并后來將這種方法擴(kuò)展到包括時(shí)間依賴載荷引起的瞬態(tài)效應(yīng)[17]。為了規(guī)避多尺度設(shè)計(jì)中的不確定性威脅，Zhou等人[18]采用橢球模型來表征非概率隨機(jī)變量，并使用一級可靠性方法（FORM）估計(jì)失效概率。
隨著TO研究的深入，Maruo等人[19]創(chuàng)造性地將線性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為二次無約束二元優(yōu)化（QUBO）問題，使得優(yōu)化問題可以在量子計(jì)算機(jī)上計(jì)算。Ye等人[20]在D-Wave量子退火機(jī)上實(shí)現(xiàn)了基于量子退火的TO方法[21]。"[21]將量子退火應(yīng)用于桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。
研究表明，裂紋萌生是接觸區(qū)域最常見的機(jī)械損傷類型之一[22]。脆性材料（如陶瓷）在拉應(yīng)力作用下的脆性斷裂行為是突然的，其裂紋萌生和擴(kuò)展往往會導(dǎo)致災(zāi)難性失效，這已成為航空航天、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的一個(gè)關(guān)鍵安全問題。因此，裂紋擴(kuò)展通常被納入TO問題中考慮[23]。
為了控制裂紋擴(kuò)展，研究人員開發(fā)了許多策略。例如，場論方法[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、能量有限元方法（EFEM）[29]、自適應(yīng)等幾何無網(wǎng)格方法[27]、統(tǒng)計(jì)拓?fù)鋬?yōu)化方案[30]等。擴(kuò)展有限元方法（X-FEM）[31]、[32]、[33]也是一種很好的策略，它可以通過使用近似空間增強(qiáng)方法為裂紋演化分析提供更大的靈活性。這些方法通常與伴隨方法[25]、[34]、[35]、反應(yīng)-擴(kuò)散方程[28]或其他方法結(jié)合使用，以實(shí)現(xiàn)高效優(yōu)化。它們的有效性已在L形支架、懸臂梁等結(jié)構(gòu)中得到驗(yàn)證[34]、[36]。在這些方法中，PeriDynamics（PD）方法因其能夠直觀模擬裂紋演化而受到廣泛關(guān)注。Wang等人[37]建立了單微接觸凸點(diǎn)的二維平面應(yīng)變彈塑性PD模型，并揭示了滑動接觸中最大剪切應(yīng)力區(qū)域的裂紋萌生規(guī)律。Kendibilir等人[38]提出了一種基于PD的三維TO方法，考慮了增材制造過程中的表面裂紋。Zhang等人[39]提出了兩種基于PD的分析框架的斷裂改進(jìn)策略。Vieira和Araújo[40]使用了基于鍵合的PD公式，顯著提高了結(jié)構(gòu)的抗斷裂性能。
基于對裂紋萌生和擴(kuò)展機(jī)制的深入分析，數(shù)值模擬技術(shù)在分析結(jié)構(gòu)損傷方面變得越來越重要，包括有限元分析、周期性動力學(xué)和分子動力學(xué)[41]、[42]、[43]。關(guān)于磨損相關(guān)問題的TO研究也在進(jìn)行中。對于熱機(jī)械復(fù)合材料的不確定性，Niu等人[44]引入了適用于粘附摩擦和純滑動摩擦的兩種載荷增量減少（LIR）規(guī)則。在彈性接觸領(lǐng)域，Zhang等人[45]提出了一種基于K-S函數(shù)的接觸壓力約束聚合框架，展示了摩擦對拓?fù)鋬?yōu)化的顯著調(diào)節(jié)作用。值得注意的是，與摩擦和磨損相關(guān)的熱機(jī)械耦合效應(yīng)為TO研究提供了新的方向。Jia等人[46]首次將TO應(yīng)用于多功能摩擦學(xué)復(fù)合材料的設(shè)計(jì)，旨在減少滑動界面因摩擦加熱引起的溫度升高。Hu等人[47]利用概率模型描述了高速車輛中各種損傷的尺寸和體積分?jǐn)?shù)，并對其進(jìn)行了定量表征。Gu等人[48]從摩擦系數(shù)、努塞爾數(shù)等方面評估了微通道的TO結(jié)構(gòu)。
從熱力學(xué)的角度來看，摩擦和磨損過程中的能量耗散是不可逆的。熵生成理論提供了一個(gè)關(guān)鍵的分析框架。Zmitrowicz[49]、[50]、[51]系統(tǒng)地揭示了接觸界面在摩擦、磨損和熱機(jī)械耦合作用下的材料響應(yīng)機(jī)制，為摩擦學(xué)系統(tǒng)的多尺度行為分析提供了理論支持。Bryant等人[52]提出的退化熵生成（DEG）定理直接將熵生成率與界面的不可逆損傷相關(guān)聯(lián)。Aghdam和Khonsari[53]揭示了干摩擦系統(tǒng)中退化率與熵流率之間的線性關(guān)系，并得到了退化系數(shù)。隨后，DEG定理被擴(kuò)展到多機(jī)制磨損工作條件[54]。Lin等人[55]將該定理應(yīng)用于齒輪齒面形態(tài)的高精度預(yù)測。
通過整合熱力學(xué)理論、數(shù)值模擬和TO，上述研究為結(jié)構(gòu)損傷抗性設(shè)計(jì)提供了多種工具，特別是在熱機(jī)械耦合條件下。因此，開發(fā)了一種熱彈性剛度TO模型，該模型考慮了陶瓷在拉伸條件下的亞微裂紋擴(kuò)展。作者使用K-S函數(shù)來整合裂紋擴(kuò)展約束，減少了需要處理的約束數(shù)量，并確保了優(yōu)化的收斂速度。目標(biāo)函數(shù)的靈敏度分析采用伴隨方法進(jìn)行，從而實(shí)現(xiàn)了拓?fù)鋬?yōu)化過程的高效實(shí)施。
本文的其余部分組織如下：第2節(jié)提出了熱機(jī)械耦合分析的熱彈性控制方程。第3節(jié)解釋了基于最大剪切應(yīng)力斷裂準(zhǔn)則的熱應(yīng)力計(jì)算和亞微裂紋擴(kuò)展原理。第4節(jié)構(gòu)建了考慮陶瓷層拉伸情況下亞微裂紋擴(kuò)展約束的熱彈性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)框架，并推導(dǎo)了靈敏度表達(dá)式。第5節(jié)提供了數(shù)值示例，并比較了有無亞微裂紋擴(kuò)展約束的結(jié)果，以驗(yàn)證所提出的模型。最后，第6節(jié)總結(jié)了本研究并提出了未來研究的建議。
