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分級接觸幾何與AKSZ形式主義
《Differential Geometry and its Applications》：Graded contact geometry and the AKSZ formalism
【字體： 大 中 小 】 時間：2026年03月03日 來源：Differential Geometry and its Applications 0.7
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提出AKSZ接觸形式主義，構建弱接觸結構并求解類比主方程，低維對應Jacobi sigma模型和三維拓撲場論。
The AKSZ方法直接構建了BV經典主方程的解，而不需要從一個具有對稱性的經典作用量開始，這與BV形式主義不同。通過將非零度場的值設為零，可以恢復經典作用量。在AKSZ形式主義中，目標空間被假設為一個微分分級的辛流形。在低度數情況下，這種構建導致了Poisson sigma模型和Courant sigma模型，后者是Chern-Simons理論的一個特例。
在這篇手稿中，我們描述了AKSZ形式主義的一個類似物，其中目標空間是一個微分分級的接觸流形。我們證明了與普通AKSZ理論類似的結果，即場空間繼承了一個分級接觸結構，并且存在一個自然定義的函數，該函數滿足通過雅可比括號定義的經典主方程的類似物。
與普通AKSZ理論一樣，通過將非零度場的值設為零可以恢復經典作用量。在低度數情況下，這種構建導致了雅可比sigma模型 [2] 和一個（據我們所知是新的）與Courant-Jacobi代數相關的三維理論。
我們注意到，關于雅可比sigma模型的現有文獻（例如 [2]、[3]、[12]）要么依賴于Poisson化，從Poisson sigma模型中提取理論，要么直接引入作用量，并通過觀察它具有所需的運動方程來證明其合理性。AKSZ-接觸理論提供了一個更概念化和直接的解釋，說明雅可比sigma模型的來源。
本文的結構如下：第2節提供了接觸幾何的概述。第3節回顧了分級接觸結構。第4節描述了AKSZ-接觸形式主義并證明了我們的主要結果（定理4.2和定理4.4）。第5節在我們的構建的 情況下得到了雅可比Sigma模型。最后，在第6節中，我們考慮了 情況，從而得到了Courant-Jacobi sigma模型。
在正在進行的工作 [11] 中，我們使用AKSZ形式主義對雅可比Sigma模型進行了路徑空間構建（通過相空間簡化），包括它們的移位版本 [22]。通過微擾方法對雅可比結構進行量化也將是有趣的。特別是，BV量化程序 [7]、[28] 應該能夠為雅可比結構的量化提供場論解釋，模仿通過Poisson sigma模型獲得Kontsevich的Poisson流形變形量化公式的過程。
在本節中，我們簡要介紹了接觸幾何，涵蓋了本文后面將使用的符號和基本結果。更多細節請參見 [16]、[24]。
本節簡要回顧了分級流形和分級接觸結構。有關分級流形的更多細節，請參見 [8]、[15]、[25]。分級接觸結構在 [17]、[26] 中有描述，而與之密切相關的分級辛結構理論則在 [29] 中有介紹。
本節包含了本文的主要結果，我們描述了AKSZ形式主義的接觸幾何類比，它產生了一個與任何度數 n 的接觸 -流形相關的 -維拓撲場理論。我們在第4.1節和第4.2節提供了一些背景信息，AKSZ-接觸形式主義在第4.3節和第4.4節中有描述。在第4.5節中，我們描述了AKSZ-接觸理論與常規AKSZ理論之間的關系，通過辛化來說明。
在本節中，我們考慮了AKSZ-接觸理論的 情況，并展示了它如何再現了 [2] 中的雅可比sigma模型。
在本節中，我們考慮了AKSZ-接觸理論的 情況，這產生了一個與Courant-Jacobi代數相關的三維拓撲場理論。
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